Algebra

Działania logiczne

Rozdział 2.1

Negacja, koniunkcja, alternatywa i alternatywa wykluczająca – z przykładami i zadaniami.

2.1. Działania logiczne

Działania logiczne umożliwiają ocenę wartości logicznej zdań (wypowiedzi) zbudowanych ze zdań (wypowiedzi) prostszych.

Wartość logiczna takiego zdania zależy tylko od wartości tworzących je zdań prostych.

Negacja. Negacja, czyli zaprzeczenie, polega na zbudowaniu stwierdzenia o wartości logicznej przeciwnej do danego stwierdzenia. Negację oznaczamy symbolem „¬”.

Koniunkcja. Schemat koniunkcji opisuje zdanie złożone, którego prawdziwość wymaga prawdziwości obu części składowych. Dla koniunkcji stosujemy spójniki „i” albo „oraz”; oznaczamy ją symbolem „∧”.

Alternatywa i alternatywa wykluczająca. Schemat alternatywy opisuje zdanie złożone, dla którego prawdziwość wystarcza prawdziwość jednej (dowolnej) jego części składowej. Dla alternatywy stosujemy spójnik „lub”; oznaczamy ją symbolem „∨”.

W schemacie alternatywy wykluczającej prawdziwość wymaga, bo obie części składowe miały rożne wartości logiczne. Dla alternatywy stosujemy spójnik „albo”; oznaczamy ją symbolem „∨̇”.

Uwaga

Spójniki logiczne łączą ze sobą zdania, tworząc z nich zdania złożone. W języku potocznym mamy czasem wrażenie, jakoby spójniki łączyły ze sobą podmioty albo same orzeczenia; często jest to efekt skrótowych notacji. Na przykład zdanie „Adam i Basia pochodzą z Opola” znaczy tyle, co „Adam pochodzi z Opola i Basia pochodzi z Opola”.

Jednak zdarza się, że w zdaniu w języku potocznym spójnik występuje w roli innej niż łączenie zdań składowych. Na przykład zdanie „Adam i Basia uzgodnili swoje plany” dotyczy wzajemnej relacji osób; nie ma tu koniunkcji, tylko podmiot zbiorowy. Zdanie to można je wyrazić w postaci „Adam z Basią uzgodnili swoje plany”. Zauważmy, że „z” nie jest spójnikiem w gramatyce; nie jest też spójnikiem logicznym.

Przykłady rozwiązanych zadań

Przykład 2.1

Stwierdzenie „Zadzwonię do Ciebie lub wyślę Ci sms-a”.

01Stwierdzenie ma postać alternatywną. Dla jego prawdziwości potrzeba (i wystarcza), by zaszła jedna z możliwości: „(ja) zadzwonię do Ciebie”, „(ja) wyślę Ci sms-a”. Jeśli zajdą obie, także będzie OK.

Przykład 2.2

Stwierdzenie „Oczekującym oferujemy darmową kawę albo herbatę”.

01Stwierdzenie ma postać alternatywy wykluczającej. W tym przypadku otrzymanie za darmo obu rodzajów napoju przez tego samego klienta nie mieści się w ofercie.

Przykład 2.3

Zdanie „Rozmawiałem z Adamem i z Bronkiem”.

01Zdanie ma postać koniunkcji. Dla jego prawdziwości potrzeba (i wystarcza), by było prawdą, że „rozmawiałem z Adamem” i że „rozmawiałem z Bronkiem”.

Przykład 2.4

Zaprzeczenie zdania „Zawartość opakowania ma masę 100 gramów”.

01Zaprzeczeniem jest zdanie „Zawartość opakowania ma masę inną niż 100 gramów”, albo zdanie „Zawartość opakowania ma masę mniejszą albo większą niż 100 gramów”, czyli
$\neg (masa (x) = 100 g) \equiv masa (x) \neq = 100 g \equiv (masa (x) > 100 g) \lor (masa (x) < 100 g) .$

Przykład 2.5

Zaprzeczenie zdania „Współczynnik p jest dodatni”.

01Zaprzeczeniem jest zdanie „Współczynnik p nie jest dodatni”, albo zdanie „Współczynnik p jest ujemny albo zerowy” (można też powiedzieć „niedodatni”), czyli
$\neg (p > 0) \equiv (p < 0) \lor (p = 0) \equiv p ⩽ 0.$

Przykład 2.6

Zaprzeczenie zdania „Spotkanie zaplanowano na poniedziałek”.

01W tym stwierdzeniu ukryta jest konstrukcja warunkowa: spotkanie jest zaplanowane na poniedziałek, ale przecież mogłoby by być nie tylko zaplanowane na inny dzień, ale także niezaplanowane. Więc zaprzeczeniem jest „spotkania nie zaplanowano albo zaplanowano je na dzień inny niż poniedziałek”.
02Dopuszczalne jest także sformułowanie wskazujące na warunkowość: „jeśli spotkanie zaplanowano, to nie na poniedziałek”. W tym przypadku używamy konstrukcji zwanej implikacją (ozn. p ⟹ q); znaczy ona tyle samo, co ¬p ∨ q.

Przykład 2.7

Zaprzeczenie zdania „x > 3 ∧ y ⩾ 5”.

01Wystarczy, by jeden z dwóch warunków opisanych w stwierdzeniu nie zachodził, a całe stwierdzenie stanie się fałszywe. Zatem
$\neg (x > 3 \land y ⩾ 5) \equiv \neg (x > 3) \lor \neg (y ⩾ 5) \equiv (x ⩽ 3) \lor (y < 5) .$

Zadania

1. Zadanie 2.1. Rozpoznaj strukturę zdania „Pożyczę tę książkę od Ani lub od Basi” i wskaż sytuacje, w których będzie ono fałszywe.
Wskazówka: Spójnik logiczny łączy zdania, nie przedmioty ani osoby. Sytuacje, w których dana wypowiedź jest (okaże się) fałszywa, to są wszystkie takie sytuacje, w których ta wypowiedź nie jest (nie okaże się) prawdziwa.
2. Zadanie 2.2. Rozpoznaj strukturę zdania „Pożyczę tę książkę od Ani albo od Basi” i wskaż sytuacje, w których będzie ono fałszywe.
3. Zadanie 2.3. W konkursie na stanowisko pracy uczestnicy są oceniani pod względem dwóch kryteriów, w każdym w skali od 0 do 10 punktów. Do drugiego etapu przechodzą kandydaci, którzy łącznie zdobyli co najmniej 12 punktów, z tym, że za pierwsze kryterium otrzymali ich co najmniej 5. a. Zapisz formułę dopuszczenia do drugiego etapu w postaci algebraicznej.
4. Zadanie 2.3 b. Kandydaci ze zbioru { A, B, C, D, E } w etapie wstępnym osiągnęli następujące wyniki: A : (4, 9), B : (5, 5), C : (6, 6), D : (8, 4), E : (3, 4). Zdecyduj, którzy spośród nich zostaną dopuszczeni do drugiego etapu.
5. Zadanie 2.4. Rozwiąż poprzednie zadanie przy zmienionych warunkach konkursu: dopuszczenie do drugiego etapu wymaga osiągnięcia oceny łącznej na poziomie co najmniej 12 punktów, z tym że każda pojedyncza ocena musi wynosić co najmniej 5 punktów.
6. Zadanie 2.5. Zbuduj zaprzeczenie zdania „Marek wziął udział w konkursie i wygrał go”.
Wskazówka: 1. Wydaje się, że po prostu „Marek wziął udział w konkursie, ale nie wygrał go”. Ale czy na pewno? czy zaprzeczeniem wygrania konkursu jest jego niewygranie? Owszem, jeśli się startowało... 2. Pamiętajmy też, że „nie wygrać” nie znaczy „przegrać”.

Odpowiedzi do zadań

1. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Słowo „lub” wskazuje na alternatywę możliwości. W tym przypadku zdanie rozwinie się do „Pożyczę tę książkę od Ani lub pożyczę tę książkę od Basi”.
2. 02Do jego prawdziwości (spełnienia) potrzeba, by zaszła przynajmniej jedna ze wskazanych możliwości. Korzystamy z oznaczenia alternatywy zdań. Symbolicznie, przy oznaczeniach p : Pożyczę tę książkę od Ani, q : Pożyczę tę książkę od Basi, schemat zapiszemy w postaci
  $p \lor q .$
3. 03Pozostała możliwość, mianowicie: „nie pożyczę tej książki ani od Ani, ani od Basi” opisuje jedyny przypadek, w którym analizowana sytuacja nie zachodzi.
4. 04Symbolicznie, przy oznaczeniach jak wyżej, zaprzeczenie wyrazimy jednym z dwóch sposobów:
  $\neg (p \lor q) \equiv (\neg p \land \neg q) .$
2. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Słowo „albo” wskazuje na alternatywę wykluczającą. „Pożyczę tę książkę od Ani albo pożyczę tę książkę od Basi”. Do prawdziwości (spełnienia) zdania potrzeba, by zaszła dokładnie jedna ze wskazanych możliwości.
2. 02Symbolicznie, przy oznaczeniach p : Pożyczę tę książkę od Ani, q : Pożyczę tę książkę od Basi i zastosowaniu symbolu alternatywy wykluczającej, zapiszemy schemat zdania
  $p \lor ˙ q .$
3. 03Możemy też chcieć użyć równoważnego zapisu za pomocą „standardowych” symboli działań: zaprzeczania, koniunkcji i alternatywy: zachodzi alternatywa, ale nie zachodzi koniunkcja.
  $(p \lor ˙ q) \equiv (p \lor q) \land \neg (p \land q) .$
4. 04Każda z dwóch, mianowicie: „nie pożyczę tej książki ani od Ani, ani od Basi” oraz „pożyczę tę książkę i od Ani, i od Basi” – w układzie alternatywnym – wyczerpują sytuacje fałszywości.
5. 05Symbolicznie, przy oznaczeniach jak wyżej, zaprzeczenie możemy zapisać na kilka sposobów:
  $\neg (p \lor ˙ q) \equiv (\neg p \land \neg q) \lor (p \land q) \equiv (p ⟺ q) .$
6. 06Uwaga. Rozumowanie w przeciwną stronę doprowadzi nas do wniosku, że zaprzeczeniem stwierdzenia równoważności dwóch zdań jest ich alternatywa wykluczająca:
  $\neg (p \lor ˙ q) \equiv (p ⟺ q), wi ę c \neg (p ⟺ q) \equiv (p \lor ˙ q) .$
3. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Oznaczmy wyniki kandydata P symbolami P₁, P₂. Warunek ma postać koniunkcji (oba kryteria muszą być spełnione)
  $(P_{1} ⩾ 5) \land (P_{1} + P_{2} ⩾ 12) .$
2. 02Zbiór dopuszczalnych ocen da się też przedstawić w formie wykresu: na osi poziomej Ocena 1 (0–10), na osi pionowej Ocena 2 (0–10), z obszarami „tylko kryt. 1”, „tylko kryt. 2” oraz „oba kryteria”.
4. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Do drugiego etapu zostaną dopuszczeni ci, których pierwsza ocena wynosi co najmniej 5, a łączna co najmniej 12. Są to: { C, D }.
2. 02Uczestnik A nie spełnia pierwszego kryterium (A₁ = 4 < 5); uczestnik B spełnia pierwsze (B₁ = 5 ⩾ 5), ale nie spełnia drugiego kryterium (B₁ + B₂ = 10 < 12); uczestnik E nie spełnia żadnego kryterium (choć dla wykluczenia wystarcza niespełnienie dowolnego jednego z nich).
5. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01W tym przypadku kryterium akceptacji jest koniunkcją trzech warunków: pierwsza ocena wynosi co najmniej 5; druga ocena wynosi co najmniej 5; suma punktów z obu ocen wynosi co najmniej 12.
2. 02Symbolicznie, przy oznaczeniach jak w poprzednim zadaniu,
  $(P_{1} ⩾ 5) \land (P_{2} ⩾ 5) \land (P_{1} + P_{2} ⩾ 12) .$
3. 03W tym przypadku wykres przedstawiający zbiór ocen dopuszczalnych wygląda nieco inaczej: na osiach Ocena 1 i Ocena 2 (0–10) wyróżniamy obszary „tylko kryt. 1”, „tylko kryt. 2”, „kryt. 1+2”, „kryt. 1+3”, „kryt. 2+3” oraz „wszystkie”.
4. 04Spośród kandydatów { A, B, C, D, E } w tym przypadku do drugiego etapu dostanie się tylko kandydat C. Uczestnik A nie spełnia pierwszego kryterium (A₁ = 4 < 5); uczestnik B spełnia pierwsze dwa warunki, ale nie spełnia trzeciego (B₁ + B₂ = 10 < 12), uczestnik D nie spełnia kryterium drugiego, zaś uczestnik E nie spełnia żadnego spośród podanych kryteriów.
6. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Rozważane zdanie jest zbudowane na schemacie koniunkcji: „Marek wziął udział w konkursie i Marek wygrał (ten) konkurs”. Wobec tego jego zaprzeczenie będzie miało postać alternatywy.
2. 02Oznaczmy: p = „Marek wziął udział w konkursie”; q = „Marek wygrał konkurs”. Popracujmy ze schematem:
  $\neg (p \land q) \equiv (\neg p \lor \neg q),$
3. 03co możemy przetłumaczyć na język potoczny jako „Marek nie wziął udziału w konkursie lub (wziął w nim udział, ale) nie wygrał go”, albo jako „Jeżeli Marek wziął udział w konkursie, to go nie wygrał”.
4. 04Ten sam wynik otrzymamy budując tabelę wszystkich możliwości: dla q = f: p = f → F, p = t → F; dla q = t: p = f → F, p = t → T.
5. 05Koniunkcja jest spełniona tylko w przypadku oznaczonym „T”. W trzech pozostałych przypadkach, opisanych wspólnie symbolem „F”, prawdziwe jest jej zaprzeczenie. Są to kolejno: ¬p ∧ ¬q, p ∧ ¬q oraz ¬p ∧ q. Ich alternatywa wyraża się warunkiem „co najmniej jedno spośród p, q jest fałszywe”.