Działania na zbiorach

Odpowiedzi do zadań

1. 1. Zadanie do samodzielnego opracowania.
   1. 01Odległość od x do 5 wyraża się przez |x − 5|. W zapisie symbolicznym:
      $$A=\{x\in \mathbb{R}:|x-5|>2\}.$$
   2. 02Rozwiązujemy nierówność |x − 5| > 2. Jest ona równoważna alternatywie nierówności x − 5 > 2 lub 5 − x > 2, które prowadzą do x > 7 lub x < 3.
   3. 03Do tego samego wniosku da się dojść rozważaniami geometrycznymi podczas analizy wykresu dwóch funkcji: f : x ↦ |x − 5| oraz g : x ↦ 2.
   4. 04Rozwiązanie zapisane w postaci zbioru: R ∖ [3, 7] albo inaczej (−∞, 3) ∪ (7, +∞). Żadna z tych form nie jest „lepsza” ani „gorsza” niż druga.
   5. 05Rysunek przedstawiający położenie wyznaczonych zbiorów znajduje się w ostatniej sekcji odpowiedzi.
2. 2. Zadanie do samodzielnego opracowania.
   1. 01W zapisie symbolicznym:
      $$B=\{x\in \mathbb{R}:(x-1{)}^2⩽5\}.$$
   2. 02Rozwiązujemy nierówność (x − 1)² ⩽ 5. Uwaga. Funkcja · ↦ (·)² nie jest funkcją różnowartościową!
   3. 03Nierówność można zapisać równoważnie jako układ −√5 ⩽ x − 1 ⩽ √5 i dalej 1 − √5 ⩽ x ⩽ 1 + √5. Zbiorem rozwiązań jest przedział
      $$[1-\sqrt{5},1+\sqrt{5}].$$
   4. 04Rysunek przedstawiający położenie wyznaczonych zbiorów znajduje się w ostatniej sekcji odpowiedzi.
3. 3. Zadanie do samodzielnego opracowania.
   1. 01Część wspólna to zbiór wszystkich elementów należących do obu zbiorów jednocześnie.
   2. 02Ponieważ 1 + √5 > 3, otrzymujemy:
      $$A\cap B=((-\infty ,3)\cup (7,+\infty ))\cap [1-\sqrt{5},1+\sqrt{5}]=[1-\sqrt{5},3).$$
   3. 03Rysunek przedstawiający położenie wyznaczonych zbiorów znajduje się w ostatniej sekcji odpowiedzi.
4. 4. Zadanie do samodzielnego opracowania.
   1. 01Suma zbiorów to zbiór wszystkich elementów należących do przynajmniej jednego ze zbiorów.
   2. 02Ponieważ 1 − √5 < 3, zaś 1 + √5 > 3:
      $$A\cup B=(-\infty ,3)\cup (7,+\infty )\cup [1-\sqrt{5},1+\sqrt{5}]=(-\infty ,1+\sqrt{5}]\cup (7,+\infty ).$$
   3. 03Rysunek przedstawiający położenie wyznaczonych zbiorów znajduje się w ostatniej sekcji odpowiedzi.
5. 5. Zadanie do samodzielnego opracowania.
   1. 01A ∩ B = [1 − √5, 3). Poszukujemy liczb całkowitych z spełniających nierówności 1 − √5 ⩽ z < 3. Wartość √5 leży między 2 a 3, wobec czego wartość 1 − √5 leży między −2 a −1. Dlatego nierówność spełniają liczby ze zbioru
      $$\{-1,0,1,2\}.$$
   2. 02Na rysunku (oś liczbowa od −8 do 8) przedstawiono położenie wszystkich zbiorów wyznaczonych w tym zadaniu: zbiór A = (−∞, 3) ∪ (7, +∞); zbiór B = [1 − √5, 1 + √5]; część wspólna A ∩ B = [1 − √5, 3); suma A ∪ B = (−∞, 1 + √5] ∪ (7, +∞); zbiór A ∩ B ∩ Z = {−1, 0, 1, 2}.
6. 6. Zadanie do samodzielnego opracowania.
   1. 01Każdy element części wspólnej zbiorów A i B należy do zbioru A i do zbioru B. Do zbioru A należą liczby całkowite podzielne przez 12. Liczby takie innymi słowy są całkowitymi krotnościami wartości 12. To znaczy z kolei, że istnieje pewna liczba całkowita k mówiąca, ile takich „dwunastek” trzeba wziąć.
   2. 02W zapisie symbolicznym:
      $$A=\{x\in \mathbb{Z}:x=12\cdot k\text{ przy pewnej całkowitej wartosˊci }k\}.$$
   3. 03Podobnie,
      $$B=\{x\in \mathbb{Z}:x=18\cdot m\text{ przy pewnej całkowitej wartosˊci }m\}.$$
   4. 04Weźmy teraz liczbę x ∈ A ∩ B. Wtedy istnieją takie krotności k, m ∈ Z, że x = 12·k = 18·m. Po rozłożeniu prawych stron na czynniki:
      $$x=2\cdot 2\cdot 3\cdot k=2\cdot 3\cdot 3\cdot m.$$
   5. 05Stąd wynika, że: krotność k jest podzielna przez 3, krotność m jest parzysta, skąd wnioskujemy, że x jest podzielna przez 2 · 2 · 3 · 3 = 36. Mamy gotową odpowiedź:
      $$A\cap B=\{x\in \mathbb{Z}:x\text{ jest podzielna przez }36\}.$$
   6. 06Warto zauważyć, że 36 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 12 i 18: 36 = 2 · 18 = 3 · 12, zaś współczynnikami są liczby 2 i 3, które pojawiły się w analizie wyżej.
   7. 07Interpretacja graficzna: liczby 2 i 3 są najmniejszymi krotnościami pozwalającymi wspólnie wymierzyć wielkościami 12 i 18 tę samą wielkość wynoszącą 36 – trzy odcinki o długości 12 albo dwa odcinki o długości 18 tworzą odcinek o długości 36.
7. 7. Zadanie do samodzielnego opracowania.
   1. 011. Część wspólna A ∩ B jest zarówno podzbiorem zbioru A, jak podzbiorem zbioru B. Wynika stąd, że |A ∩ B| ⩽ |A| oraz |A ∩ B| ⩽ |B|. Wobec tego |A ∩ B| nie przekracza mniejszej spośród wartości |A|, |B|, czyli:
      $$0⩽|A\cap B|⩽\min (|A|,|B|)=\min (300,1200)=300,$$
   2. 02przy czym równość zachodzi tylko w przypadku, gdy zbiór A (o mniejszej liczebności) jest podzbiorem zbioru B.
   3. 032. W przypadku sumy, oba zbiory: A, B są podzbiorami zbioru A ∪ B. Wynika stąd, że |A| ⩽ |A ∪ B| oraz |B| ⩽ |A ∪ B|. Wobec tego |A ∪ B| wynosi co najmniej tyle, ile większa spośród wartości |A|, |B|, czyli:
      $$|A\cup B|⩾\max (|A|,|B|)=\max (300,1200)=1200,$$
   4. 04przy czym równość zachodzi tylko w przypadku, gdy zbiór A (o mniejszej liczebności) jest podzbiorem zbioru B.
   5. 053. Elementami sumy zbiorów A, B są: te elementy zbioru A, które nie należą do zbioru B (czyli należą do różnicy A ∖ B); te elementy zbioru B, które nie należą do zbioru A (czyli należą do różnicy B ∖ A); elementy należące jednocześnie do zbiorów A i B (czyli należą do ich części wspólnej A ∩ B). Te trzy zbiory są parami rozłączne.
   6. 06Przy tym (A ∖ B) oraz A ∩ B sumują się do zbioru A; zbiory (B ∖ A) oraz A ∩ B sumują się do zbioru B. Wynika stąd, że
      $$|A\cup B|⩽|A|+|B|=300+1200=1500.$$
   7. 07W tym szacowaniu zliczane są dwukrotnie elementy części wspólnej A ∩ B. Gdybyśmy znali liczebność części wspólnej, to wynik dałoby się wyznaczyć jednoznacznie:
      $$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$$
   8. 08Jednak w zadaniu wartość trzeciego składnika jest niedostępna. Równość w szacowaniu zachodzi tylko w przypadku |A ∩ B| = 0, to znaczy w przypadku, kiedy zbiory A, B są rozłączne.