Działania na zbiorach

2.2. Działania na zbiorach

Algebra zbiorów w praktyce wiąże się z analizą układów warunków decydujących o przynależności elementów do zbiorów. Jest to istotne dla zachowania precyzji podczas poszukiwań rozwiązań problemów nie tylko matematycznych, ale także klasyfikacyjnych albo konstrukcyjnych.

Zbiór. Pojęcie zbioru w rozumieniu z początków XX wieku sformułowano przy założeniu, że zbiór jest kolekcją rozróżnialnych i dobrze określonych elementów. Rozróżnialność powoduje, że dany element albo należy do zbioru, albo do niego nie należy, nie może natomiast należeć więcej niż raz.

Obecne rozumienie zbiorów w matematyce i filozofii wymaga dużo większej precyzji. Jednak w praktycznych zastosowaniach wystarcza podejście intuicyjne.

Suma zbiorów. Suma dwóch zbiorów tworzy zbiór złożony z wszystkich elementów należących do któregokolwiek z rozważanych zbiorów. Dla danych zbiorów A, B ich sumę oznaczamy przez A ∪ B.

Część wspólna zbiorów. Część wspólna (iloczyn, przekrój) dwóch zbiorów tworzy zbiór złożony z wszystkich elementów należących jednocześnie do obydwu rozważanych zbiorów. Dla danych zbiorów A, B ich część wspólną oznaczamy przez A ∩ B.

Różnica zbiorów. Różnicę dwóch zbiorów tworzy zbiór złożony z wszystkich elementów pierwszego zbioru, nienależących do drugiego zbioru. Dla danych zbiorów A, B ich różnicę oznaczamy przez A ∖ B.

Dopełnienie zbioru. Dopełnienie zbioru naiwnie opisuje kolekcję wszystkich elementów nie należących do rozważanego zbioru. Tak szeroka definicja nie jest jednak poprawna filozoficznie. Dlatego przyjmuje się, że dopełnienie jest to różnica ustalonego zbioru zwanego uniwersum (Ω) i rozważanego zbioru. Jest sens mówić o dopełnieniu, jeśli z kontekstu problemu potrafimy ustalić, czym jest uniwersum (np. że jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, albo zbiór wszystkich teoretycznie możliwych ofert w przetargu). Wtedy dopełnienie jest określone jako A′ = { x ∈ Ω : x ∉ A } = Ω ∖ A.

Podzbiory i nadzbiory. Podzbiorem danego zbioru A jest każdy zbiór, którego elementy są również elementami zbioru A. Zdanie „B jest podzbiorem A” zapisujemy symbolicznie B ⊂ A.

Nadzbiorem danego zbioru A jest każdy zbiór, do którego należą wszystkie elementy zbioru A, a oprócz tego być może także jakieś inne elementy. Zdanie „B jest nadzbiorem A” zapisujemy symbolicznie A ⊂ B.

„B jest podzbiorem A” znaczy to samo, co „A jest nadzbiorem B”.

Moc (liczba elementów) zbioru. Dla zbiorów skończonych, moc zbioru to po prostu liczba jego elementów. Moc zbioru jest więc w tym przypadku liczbą naturalną. Nie jest do tego potrzebne, by elementy zbioru były liczbami.

W przypadku zbiorów nieskończonych moc zbioru jest tzw. liczbą kardynalną. Przy analizie problemów mających znaczenie praktyczne, wystarcza znajomość dwóch mocy „nieskończonych”: ω (tyle, ile jest liczb naturalnych) oraz c (tyle, ile jest liczb rzeczywistych na osi liczbowej).

Moc zbioru X (o ile nie prowadzi to do nieporozumień) oznaczamy symbolem |X|.

Przykłady rozwiązanych zadań

Ćwiczenia