Algebra

Test diagnostyczny z algebry

Rozdział 1

Interaktywny test wstępny: 15 zadań z potęg, pierwiastków, wyrażeń algebraicznych, równań, nierówności i prostych na płaszczyźnie.

Polecenie

Rozwiąż test wstępny orientacji odnośnie własnych wstępnych kompetencji.

Każde zadanie sprawdzasz osobnym przyciskiem „Sprawdź”. Gotowe rozwiązanie odsłaniasz przyciskiem „Pokaż/Ukryj rozwiązanie”. Wyniki zapisu odpowiedzi nie są nigdzie wysyłane.

Zadania testu diagnostycznego

1. Zadanie 1.1. Oblicz następujące wyrażenia, nie korzystając z kalkulatora.
(a) $(- 4)^{4} =$ ……………
(b) $- 4^{4} =$ ……………
(c) $\frac{3 ^{25}}{3 ^{22}} =$ ……………
(d) $(\frac{3}{4})^{- 2} =$ ……………
2. Zadanie 1.2. Uprość poniższe wyrażenia.
(a) $300 - 27 =$ ……………
(b) $(5 x^{3} y^{2}) (2 x y^{4})^{2} =$ ……………
(c) $(\frac{2 a ^{2} b ^{5}}{a ^{1/2} b ^{2}})^{- 2/3} =$ ……………
3. Zadanie 1.3. Rozwiń i uprość następujące wyrażenia.
(a) $3 x -2 (4 x -5) + x =$ ……………
(b) $2 (x + 4) -3 (2 x -5) =$ ……………
(c) $(x - 5) (x + 5) =$ ……………
(d) $(2 x -3)^{2} =$ ……………
4. Zadanie 1.4. Zapisz wyrażenia w postaci iloczynowej.
(a) $9 x^{2} -16 =$ ……………
(b) $x^{4} + 8 x =$ ……………
(c) $x^{3} -2 x^{2} -6 x + 12 =$ ……………
(d) $x y^{3} -9 x y =$ ……………
5. Zadanie 1.5. Uprość wyrażenia wymierne.
(a) $\frac{2 x ^{2} - x -1}{x ^{2} -25} \cdot \frac{x + 5}{2 x + 1} =$ ……………
(b) $\frac{x ^{2}}{x ^{2} -4} - \frac{x + 1}{x + 2} =$ ……………
6. Zadanie 1.6. Usuń niewymierność i uprość.
(a) $\frac{10}{3 -2} =$ ……………
(b) $\frac{a + 4 -2}{a} =$ ……………
7. Zadanie 1.7. Zapisz, uzupełniając do pełnego kwadratu sumy lub różnicy.
(a) $4 x^{2} + 4 x + 2 =$ ……………
(b) $x^{2} -6 x + 12 =$ ……………
8. Zadanie 1.8. Rozwiąż równania.
(a) $5 x -7 = 3 x + 9$ , $x =$ ……………
(b) $\frac{2 x -1}{3} = 5$ , $x =$ ……………
(c) $x^{2} -6 x + 8 = 0$ , $x \in$ ……………
(d) $3∣ x -2∣ = 8$ , $x \in$ ……………
9. Zadanie 1.9. Rozwiąż nierówności.
(a) $x (x -3) (x + 5) ⩾ 0$ , $x \in$ ……………
(b) $x^{2} < 2 x + 3$ , $x \in$ ……………
(c) $\frac{3 x -1}{x + 1} > 2$ , $x \in$ ……………
10. Zadanie 1.10. Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników: x + y = 7, x − y = 1.
${x + y = 7 x - y = 1$
$x =$ ……………
$y =$ ……………
11. Zadanie 1.11. Rozwiąż układ równań.
$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 x - y + z = 4 2 x + y - z = 7$
$x =$ ……………
$y =$ ……………
$z =$ ……………
12. Zadanie 1.12. Sprawdź, czy punkt (2, 3) spełnia układ równań: x + y = 5, 2x − y = 1.
${x + y = 5 2 x - y = 1$
Odpowiedź (tak / nie): ……………
13. Zadanie 1.13. Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.
${y = 2 x + 1 3 x + y = 10$
$x =$ ……………
$y =$ ……………
14. Zadanie 1.14. Napisz równanie prostej w postaci kierunkowej przechodzącej przez punkty A(1, 2), B(3, 6).
Równanie prostej: ……………
15. Zadanie 1.15. Napisz równanie prostej nachylonej do dodatniej części osi OX pod kątem 60° i przechodzącej przez punkt o współrzędnych (1, 4).
Równanie prostej: ……………

Odpowiedzi do zadań

1. 256, -256, 27, 16/9
1. 01(a) Potęga parzysta liczby ujemnej jest dodatnia.
  $(- 4)^{4} = 256$
2. 02(b) Minus stoi przed potęgą, więc potęgujemy tylko 4.
  $- 4^{4} = - 256$
3. 03(c) Dzielenie potęg o tej samej podstawie.
  $\frac{3 ^{25}}{3 ^{22}} = 3^{3} = 27$
4. 04(d) Ujemny wykładnik odwraca ułamek.
  $(\frac{3}{4})^{- 2} = (\frac{4}{3})^{2} = \frac{16}{9}$
2. 7sqrt3, 20x^5y^10, 1/(cbrt(4)ab^2)
1. 01(a) Wyciągamy czynniki spod pierwiastków.
  $300 - 27 = 103 - 33 = 73$
2. 02(b) Najpierw potęgujemy nawias, potem mnożymy.
  $(5 x^{3} y^{2}) (2 x y^{4})^{2} = (5 x^{3} y^{2}) (4 x^{2} y^{8}) = 20 x^{5} y^{10}$
3. 03(c) Upraszczamy wnętrze nawiasu, potem stosujemy ujemny wykładnik ułamkowy.
  $(\frac{2 a ^{2} b ^{5}}{a ^{1/2} b ^{2}})^{- 2/3} = (2 a^{3/2} b^{3})^{- 2/3} = \frac{1}{3 4 a b ^{2}}$
3. -4x+10, -4x+23, x^2-5, 4x^2-12x+9
1. 01(a)
  $3 x - 2 (4 x - 5) + x = 3 x - 8 x + 10 + x = - 4 x + 10$
2. 02(b)
  $2 (x + 4) - 3 (2 x - 5) = 2 x + 8 - 6 x + 15 = - 4 x + 23$
3. 03(c) Wzór na różnicę kwadratów.
  $(x - 5) (x + 5) = x^{2} - 5$
4. 04(d) Kwadrat różnicy.
  $(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$
4. (3x-4)(3x+4), x(x+2)(x^2-2x+4), (x-2)(x-sqrt6)(x+sqrt6), xy(y-3)(y+3)
1. 01(a) Różnica kwadratów.
  $9 x^{2} - 16 = (3 x - 4) (3 x + 4)$
2. 02(b) Wyciągamy x, potem suma sześcianów.
  $x^{4} + 8 x = x (x^{3} + 8) = x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$
3. 03(c) Grupujemy wyrazy.
  $x^{3} - 2 x^{2} - 6 x + 12 = x^{2} (x - 2) - 6 (x - 2) = (x - 2) (x^{2} - 6) = (x - 2) (x - 6) (x + 6)$
4. 04(d)
  $x y^{3} - 9 x y = x y (y^{2} - 9) = x y (y - 3) (y + 3)$
5. (x-1)/(x+5), 1/(x-2)
1. 01(a) Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, potem skracamy.
  $\frac{( 2 x + 1 ) ( x - 1 )}{( x - 5 ) ( x + 5 )} \cdot \frac{x + 5}{2 x + 1} = \frac{x - 1}{x - 5}$
2. 02Materiał źródłowy podaje wynik w postaci $\frac{x - 1}{x + 5}$ dla $x \in R ∖ {- 5, \frac{1}{2}, 5}$ .
3. 03(b) Wspólny mianownik $(x - 2) (x + 2)$ .
  $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} - \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x ^{2} - ( x + 1 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x - 2}$
4. 04Dziedzina: $x \in R ∖ {- 2, 2}$ .
6. -sqrt30-2sqrt10, 1/(sqrt(a+4)+2)
1. 01(a) Mnożymy przez sprzężenie mianownika.
  $\frac{10}{3 - 2} \cdot \frac{3 + 2}{3 + 2} = \frac{30 + 2 10}{- 1} = - 30 - 210$
2. 02(b) Mnożymy przez sprzężenie licznika.
  $\frac{a + 4 - 2}{a} \cdot \frac{a + 4 + 2}{a + 4 + 2} = \frac{a}{a ( a + 4 + 2 )} = \frac{1}{a + 4 + 2}$
7. (2x+1)^2+1, (x-3)^2+3
1. 01(a)
  $4 x^{2} + 4 x + 2 = (2 x + 1)^{2} - 1 + 2 = (2 x + 1)^{2} + 1$
2. 02(b)
  $x^{2} - 6 x + 12 = (x - 3)^{2} - 9 + 12 = (x - 3)^{2} + 3$
8. 8, 8, 2;4, -2/3;14/3
1. 01(a)
  $5 x - 7 = 3 x + 9 ⟺ 2 x = 16 ⟺ x = 8$
2. 02(b)
  $2 x - 1 = 15 ⟺ x = 8$
3. 03(c) Rozkład na czynniki.
  $x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4) = 0 \Rightarrow x \in {2, 4}$
4. 04(d) Z wartości bezwzględnej: $∣ x -2∣ = \frac{8}{3}$ , więc $x = 2 \pm \frac{8}{3}$ .
  $x = \frac{14}{3} lub x = - \frac{2}{3}$
5. 05Uwaga: materiał źródłowy podaje tu zbiór ${\frac{2}{3}, \frac{14}{3}}$ .
9. [-5,0]u[3,inf), (-1,3), (-inf,-1)u(3,inf)
1. 01(a) Miejsca zerowe $- 5, 0, 3$ , wielomian rośnie do $+ \infty$ .
  $x \in [- 5, 0] \cup [3, + \infty)$
2. 02(b)
  $x^{2} - 2 x - 3 < 0 ⟺ (x + 1) (x - 3) < 0 ⟺ x \in (- 1, 3)$
3. 03(c) Przenosimy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.
  $\frac{3 x - 1}{x + 1} - 2 = \frac{x - 3}{x + 1} > 0 ⟺ x \in (- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$
4. 04Uwaga: $x \neq = - 1$ .
10. 4, 3
1. 01Dodajemy równania stronami.
  $2 x = 8 \Rightarrow x = 4$
2. 02Podstawiamy do pierwszego równania.
  $4 + y = 7 \Rightarrow y = 3$
11. 11/3, 1, 4/3
1. 01Odejmujemy drugie równanie od pierwszego.
  $2 y = 2 \Rightarrow y = 1$
2. 02Z pierwszego równania.
  $x + z = 5$
3. 03Z trzeciego równania po podstawieniu $y = 1$ .
  $2 x - z = 6$
4. 04Dodajemy stronami.
  $3 x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{3}, z = 5 - \frac{11}{3} = \frac{4}{3}$
12. tak
1. 01Podstawiamy $x = 2$ , $y = 3$ .
  $2 + 3 = 5 ✓$
2. 02Drugie równanie.
  $2 \cdot 2 - 3 = 1 ✓$
3. 03Tak – punkt spełnia oba równania.
13. 9/5, 23/5
1. 01Podstawiamy $y = 2 x + 1$ do drugiego równania.
  $3 x + 2 x + 1 = 10 \Rightarrow 5 x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5}$
2. 02Stąd wyliczamy y.
  $y = 2 \cdot \frac{9}{5} + 1 = \frac{23}{5}$
14. y=2x
1. 01Współczynnik kierunkowy.
  $a = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$
2. 02Podstawiamy punkt A.
  $2 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 0$
3. 03Równanie prostej.
  $y = 2 x$
15. y=sqrt3x+4-sqrt3
1. 01Współczynnik kierunkowy to tangens kąta nachylenia.
  $a = tan 6 0^{\circ} = 3$
2. 02Korzystamy z równania prostej przechodzącej przez punkt (1, 4).
  $y - 4 = 3 (x - 1)$
3. 03Po uporządkowaniu.
  $y = 3 x + 4 - 3$