Analiza matematyczna

Przykłady wyznaczania dziedziny funkcji

Rozdział 2.6

Przykłady 2.1–2.5: funkcja wymierna, pierwiastek, logarytm i przypadki mieszane.

Schemat postępowania

Po omówieniu podstawowych ograniczeń można przejść do wyznaczania dziedziny konkretnych funkcji. W każdym przypadku postępujemy według tego samego schematu:

analizujemy wzór funkcji,

sprawdzamy, jakie działania mogą powodować ograniczenia,

zapisujemy odpowiednie warunki,

wyznaczamy zbiór liczb spełniających wszystkie warunki jednocześnie.

Przykłady rozwiązanych zadań

Przykład 2.1.

Funkcja wymierna. Wyznaczymy dziedzinę funkcji

f (x) = \frac{1}{x - 2} .

01Krok 1. Szukamy ograniczeń. W funkcji f występuje ułamek, więc należy sprawdzić mianownik. Mianownik nie może być równy zero.
02Krok 2. Zapisujemy warunek
$x - 2 \neq = 0.$
03Krok 3. Rozwiązujemy warunek
$x \neq = 2.$

Wynik: Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby 2, czyli D_f = ℝ ∖ {2}.

Przykład 2.2.

Funkcja z pierwiastkiem. Wyznaczymy dziedzinę funkcji

g (x) = x - 5 .

01Krok 1. Szukamy ograniczeń. W funkcji występuje pierwiastek stopnia parzystego (stopień pierwiastka równy jest 2). Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.
02Krok 2. Zapisujemy warunek
$x - 5 ⩾ 0.$
03Krok 3. Rozwiązujemy nierówność
$x ⩾ 5.$

Wynik: Dziedziną funkcji g jest przedział D_g = [5, ∞).

Przykład 2.3.

Funkcja logarytmiczna. Wyznaczymy dziedzinę funkcji

h (x) = lo g (x + 1) .

01Krok 1. Szukamy ograniczeń. Argument logarytmu musi być dodatni.
02Krok 2. Zapisujemy warunek
$x + 1 > 0.$
03Krok 3. Rozwiązujemy nierówność
$x > - 1.$

Wynik: Dziedziną funkcji h jest przedział D_h = (−1, ∞).

Przykład 2.4.

Przykład mieszany. Wyznaczymy dziedzinę funkcji

p (x) = \frac{x - 1}{x - 4} .

01We wzorze tej funkcji występują jednocześnie pierwiastek oraz dzielenie. Musimy więc uwzględnić oba ograniczenia.
02Krok 1. Warunek związany z pierwiastkiem
$x - 1 ⩾ 0, czyli x ⩾ 1.$
03Krok 2. Warunek związany z dzieleniem
$x - 4 \neq = 0, wi ę c x \neq = 4.$
04Krok 3. Łączymy warunki. Muszą być spełnione jednocześnie:
$x ⩾ 1 oraz x \neq = 4.$

Wynik: Dziedziną funkcji p jest zbiór D_p = [1, ∞) ∖ {4}.

Przykład 2.5.

Drugi przykład mieszany. Wyznaczymy dziedzinę funkcji

f (x) = \frac{lo g ( x - 2 )}{x + 1} .

01W określeniu tej funkcji występują: logarytm oraz pierwiastek w mianowniku.
02Krok 1. Warunek istnienia logarytmu. Argument logarytmu musi być dodatni
$x - 2 > 0, czyli x > 2.$
03Krok 2. Warunek istnienia pierwiastka w mianowniku. Pod pierwiastkiem musi znajdować się liczba dodatnia, ponieważ mianownik nie może być równy zero:
$x + 1 > 0, st ą d x > - 1.$
04Krok 3. Łączymy warunki. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie:
$x > 2 oraz x > - 1, wi ę c x > 2.$

Wynik: Dziedziną funkcji f jest przedział D_f = (2, ∞).