Od zapisu potocznego do zapisu matematycznego

Przykład 1.1.

Nieznana liczba leży w przedziale otwartym o końcach 2, 10. Jaka jest odległość tej liczby od środka przedziału?

1. 01Środek przedziału o końcach 2, 10 przypada w punkcie o współrzędnej
   $$\frac{2+10}{2}=6.$$
2. 02Długość tego przedziału wynosi |10 − 2| = 10 − 2 = 8.
3. 03Odległość środka do krańca przedziału jest równa połowie długości.
4. 04Odległość od nieznanego punktu leżącego w przedziale do środka przedziału jest mniejsza niż połowa długości tego przedziału, czyli w tym przypadku mniejsza niż 4:
   $$\text{dla }x\in (2,10)\text{ zachodzi }|x-6|<4.$$
5. 05Wynik nie podaje konkretnej odległości, tylko jej górne oszacowanie.
6. 06Tyle intuicja. Warto rozwiązać ten sam problem rachunkowo, ponieważ: (1) zrozumiemy wtedy nie tylko jakie jest rozwiązanie, ale także dlaczego takie jest; (2) będzie możliwe wyrażenie rozwiązania przy użyciu zależności algebraicznych w przypadku ogólnym, bez znajomości konkretnych wartości parametrów; (3) w sytuacjach analogicznych, lecz istotnie odmiennych (np. na płaszczyźnie zamiast na osi liczbowej te same warunki doprowadzą do innych wzorów, a także do innych rozwiązań).

Przykład 1.2.

Poszukiwana liczba leży w przedziale otwartym o końcach a, b. Jaka jest odległość tej liczby od środka przedziału?

1. 01Środek przedziału o końcach a, b przypada w punkcie o współrzędnej s = (a + b)/2. Długość tego przedziału wynosi |b − a|.
   $$s=\frac{a+b}{2},|b-a|.$$
2. 02Każda liczba (oznaczmy ją x) należąca do przedziału (a, b) spełnia jeden z warunków: albo a < x < b (w przypadku, kiedy a < b), albo b < x < a (w przypadku, kiedy b < a). Trzecią możliwość (a = b) wykluczamy, bo wtedy przedział redukuje się do zbioru pustego.
3. 03Rozważmy tylko przypadek a < b (z drugim postąpimy analogicznie).
   $$a<x<b;$$
4. 04odejmijmy stronami wartość s
   $$a-s<x-s<b-s;$$
5. 05wykorzystajmy fakt, że s jest środkiem przedziału
   $$a-\frac{a+b}{2}<x-s<b-\frac{a+b}{2};$$
6. 06uprośćmy co się da
   $$\frac{a-b}{2}<x-s<\frac{b-a}{2};-\frac{b-a}{2}<x-s<\frac{b-a}{2}.$$
7. 07Ostatnia nierówność stwierdza, że różnica współrzędnych środka przedziału (s) i dowolnej liczby z przedziału (x) jest z dokładnością do znaku mniejsza od połowy długości przedziału. Zatem, używając symbolu wartości bezwzględnej, zapiszemy ją
   $$|x-s|<\frac{b-a}{2}.$$

Wynik: Odległość do środka do dowolnej liczby w przedziale jest mniejsza od połowy długości przedziału.

Przykład 1.3.

Znajdź na osi liczbowej wszystkie liczby, które leżą w równej odległości od wartości a = 3 i od wartości b = 5.

1. 01Oznaczmy poszukiwaną liczbę przez x.
2. 02Odległość liczb na osi liczbowej wyraża się przez wartość bezwzględną z ich różnicy. Warunek spełniany przez niewiadomą da się zapisać w postaci
   $$|x-3|=|x-5|.$$
3. 03Równanie to można rozwiązać metodą graficzną albo metodą rachunkową.

Wynik: Jedynym rozwiązaniem jest wartość x = 4.

Przykład 1.4.

Wyznacz położenie punktów płaszczyzny leżących w równych odległościach od dwóch ustalonych punktów A i B.

1. 01Oznaczmy A = (x_A, y_A); B = (x_B, y_B). Sformułujmy warunek równej odległości danego punktu od punktów A i B. W tym celu wprowadzimy oznaczenie X = (x, y).
2. 02Równość odległości w notacji wektorowej (algebra):
   $$|A-X|=|B-X|.$$
3. 03Odległość między punktami płaszczyzny P, Q wyznacza się przy użyciu ich współrzędnych
   $$|P-Q|=\sqrt{(x_Q-x_P{)}^2+(y_Q-y_P{)}^2}.$$
4. 04Warunek równości odległości przepisany przy użyciu współrzędnych
   $$\sqrt{(x_A-x{)}^2+(y_A-y{)}^2}=\sqrt{(x_B-x{)}^2+(y_B-y{)}^2}.$$
5. 05Odległości są liczbami nieujemnymi. Warunek równości dwóch liczb nieujemnych jest równoważny warunkowi równości ich kwadratów. Uwaga. W przypadku analizowania liczb, które mogą różnić się znakiem, byłby to błąd.
   $$(x_A-x{)}^2+(y_A-y{)}^2=(x_B-x{)}^2+(y_B-y{)}^2.$$
6. 06Wymnażamy
   $$x_A^2-2x{x}_A+x^2+y_A^2-2y{y}_A+y^2=x_B^2-2x{x}_B+x^2+y_B^2-2y{y}_B+y^2,$$
7. 07redukujemy
   $$x_A^2-2x{x}_A+y_A^2-2y{y}_A=x_B^2-2x{x}_B+y_B^2-2y{y}_B,$$
8. 08porządkujemy
   $$x_A^2-2x{x}_A+y_A^2-2y{y}_A-x_B^2+2x{x}_B-y_B^2+2y{y}_B=0,$$
9. 09grupujemy
   $$x\cdot (2x_B-2x_A)+y\cdot (2y_B-2y_A)+(x_A^2-x_B^2)+(y_A^2-y_B^2)=0,$$
10. 10rozkładamy na czynniki
    $$2x\cdot (x_B-x_A)-(x_A+x_B)(x_B-x_A)+2y\cdot (y_B-y_A)-(y_A+y_B)(y_B-y_A)=0,$$
11. 11dzielimy przez 2
    $$x(x_B-x_A)-\frac{x_A+x_B}{2}(x_B-x_A)+y(y_B-y_A)-\frac{y_A+y_B}{2}(y_B-y_A)=0,$$
12. 12znów grupujemy
    $$\left(x-\frac{x_A+x_B}{2}\right)(x_B-x_A)+\left(y-\frac{y_A+y_B}{2}\right)(y_B-y_A)=0.$$

Wynik: Otrzymaliśmy równanie linii prostej przechodzącej przez środek odcinka AB i prostopadłej do niego. Linia taka nosi nazwę symetralnej odcinka (Rysunek 1.2: punkty równoodległe od końców danego odcinka tworzą jego symetralną).

Przykład 1.5. Nieco inne zadanie, rozwiązanie jest inne

Wyznacz punkty leżące na płaszczyźnie w połowie odległości między punktami A i B.

1. 01W tym przypadku rozwiązanie jest tylko jedno: jest to środek odcinka AB. Dojdziemy do tego metodą rachunku wektorowego: identycznie jak w rozwiązaniu zadania 1.4.

Przykład 1.6.

Znajdź postać ogólną ułamka, którego licznik jest kwadratem liczby naturalnej pomniejszonym o 1, a mianownik jest kwadratem liczby o 1 większej niż ta z licznika.

1. 01Znajomość konkretnej liczby naturalnej wystarcza do wyznaczenia wartości poszukiwanego ułamka. Ale w zadaniu nie chodzi o wartość, tylko o opisanie sposobu jej otrzymania.
2. 02Oznaczmy liczbę naturalną symbolem n. Licznik jest kwadratem (tzn. drugą potęgą) pomniejszoną o 1, czyli wynosi n² − 1. Mianownik jest kwadratem liczby o 1 większej niż liczba podnoszona do kwadratu w liczniku; wynosi on więc (n + 1)².
3. 03Ułamek ma ogólną postać, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną:
   $$\frac{n^2-1}{(n+1{)}^2}.$$
4. 04Otrzymane wyrażenie da się obliczyć przy dowolnej wartości n ∈ ℕ.

Przykład 1.7.

Znajdź wszystkie liczby, które są kwadratami sinusów krotności kąta 60°.

1. 01Krotności danej wielkości a to wszystkie iloczyny tej wielkości przez dowolną liczbę całkowitą (albo, jeśli wynika to z kontekstu: naturalną). Krotnościami kąta 60° są kąty postaci k ⋅ 60°, gdzie k ∈ ℤ.
2. 02Funkcja sinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym równym kątowi pełnemu 360° = 2π. Zachodzi związek
   $$\sin (k\cdot 60^{\circ })=\sin (k\cdot 60^{\circ }+360^{\circ })=\sin ((k+6)\cdot 60^{\circ }).$$
3. 03Wartości sinusów rozważanych kątów powtarzają się co 6 wyrazów. Wystarczy więc rozważyć kąty ze zbioru dowolnie przyjętych sześciu kolejnych krotności, na przykład dla k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Otrzymamy tym sposobem kąty {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}.
4. 04Ich sinusy tworzą zbiór
   $$\{\sin (k\cdot 60^{\circ }):k\in \{1,2,3,4,5,6\}\}=\left\{\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}.$$
5. 05Każda jego wartość jest przyjmowana dwukrotnie, ale ponieważ chodzi o zbiór, nie ma to znaczenia.
6. 06Kwadraty tych sinusów tworzą zbiór
   $$\left\{a^2:a\in \left\{\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}\right\}=\left\{0,\frac{3}{4}\right\}.$$
7. 07Uwaga. Przy kątach o mierze innej niż 60° będzie inaczej. Może nawet się zdarzyć, że wartości w ogóle nie będą się powtarzać! Wtedy otrzymany zbiór będzie nieskończony, a wyznaczenie wartości liczbowych jego elementów może być trudne.

Przykład 1.8.

Zbiór liczbowy S jest ograniczony z góry.

1. 01Istnieje liczba rzeczywista m, która jest większa niż wszystkie elementy zbioru S.
   $$\exists m\in \mathbb{R}\forall x\in S:x<m.$$

Przykład 1.9.

Zbiór liczbowy S jest nieograniczony z góry.

1. 01Wskazówka. Zbiór S jest nieograniczony, czyli nieprawda, że jest on ograniczony. Czyli: nie istnieje żadna liczba, która go ogranicza z góry. Czyli: jakiej liczby byśmy nie wzięli (kwantyfikator!), to nie jest ona górnym ograniczeniem zbioru. Ale jeszcze warto doprecyzować, co to znaczy.

Przykład 1.10.

O zbiorach S ⊂ ℝ i T ⊂ ℝ wiadomo, że

1. 01Wskazówka. Każdy element zbioru S z każdym elementem zbioru T spełniają nierówność. Warto narysować sobie tę sytuację. Jakie jest wzajemne położenie tych zbiorów?

Przykład 1.11.

Liczba naturalna następująca bezpośrednio po liczbie k ∈ ℕ.

1. 01Na osi liczbowej odległości między sąsiadującymi liczbami naturalnymi wynoszą 1. Jeśli k jest liczbą naturalną, to k + 1 jest najmniejszą liczbą naturalną większą od k.

Przykład 1.12.

Liczba rzeczywista następująca bezpośrednio po liczbie p ∈ ℝ.

1. 01To wyrażenie jest pozbawione sensu. Nie istnieje liczba rzeczywista q większa niż p taka, że między p a q nie ma żadnej innej liczby rzeczywistej.
2. 02Mówiąc inaczej, dla każdej pary liczb rzeczywistych p i q > p istnieje liczba rzeczywista r położona między nimi,
   $$p<r<q.$$
3. 03Przykładem takiej liczby jest współrzędna środka przedziału (p, q); rzeczywiście, dla p < q zachodzi
   $$p<\frac{p+q}{2}<q.$$
4. 04Uwaga. Rachunki wykonywane na sprzęcie cyfrowym (kalkulatory, arkusze kalkulacyjne, oprogramowanie obliczeniowe) mają charakter przybliżony. W tak prowadzonych obliczeniach nie korzysta się z wszystkich wartości istniejących na „teoretycznej” osi liczbowej. Dla komputerów (albo pakietów programowych) da się wyznaczyć takie pary liczb, że pomiędzy nimi nie ma żadnej liczby możliwej do przedstawienia na tym samym komputerze (albo oprogramowaniu).

Przykład 1.13.

Następny wyraz ciągu opisanego wzorem ogólnym

1. 01„Następny wyraz ciągu” to wyraz o numerze następnym względem numeru „bieżącego”, tj. posiadający o 1 większy indeks porządkowy niż ten, który analizujemy w danej chwili.
2. 02Po wartości 7 następuje wartość 8; w ciągu po wyrazie a₇ następuje wyraz a₈:
   $$a_7=2^{1-7}=2^{-6}=\frac{1}{64},a_8=2^{1-8}=2^{-7}=\frac{1}{128}.$$
3. 03Po wartości porządkowej n ∈ ℕ następuje wartość n + 1; w ciągu po wyrazie aₙ następuje wyraz
   $$a_{n+1}=2^{1-(n+1)}=2^{-n}=\frac{1}{2^n}.$$
4. 04W tym przypadku wyraz „następny” jest zawsze połową wyrazu „bieżącego”. Znaczy to, że zaproponowany ciąg (aₙ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 1/2.

Przykład 1.14.

Następna wartość funkcji f(t) = √t, gdzie t ∈ [0, +∞).

1. 01Na rzeczywistej osi liczbowej nie ma „bezpośrednich sąsiadów”.
2. 02W odniesieniu do funkcji określonej na przedziale liczbowym mówienie o „następnej wartości” nie ma sensu.
3. 03Jeśli myślimy o „wartości następnej”, to albo mamy na myśli ciąg (np. bₙ = √n dla n ∈ ℕ), albo wartości funkcji obliczone w tabelce (czyli ciąg postaci √xₙ przy danym ciągu argumentów xₙ). W takim przypadku „następna” jest wartość odpowiadająca następnemu wyrazowi ciągu, tzn. wyrazowi o indeksie zwiększonym o 1: √xₙ₊₁. Czyli mówiąc „po ludzku” – wartość z następnego wiersza tabeli. A jaka ona jest, to zależy nie tyle od funkcji, co od sposobu przygotowania tabeli.