Przykład
Przykład 1.1.
Nieznana liczba leży w przedziale otwartym o końcach 2, 10. Jaka jest odległość tej liczby od środka przedziału?
Analiza matematyczna
Od zapisu potocznego do zapisu matematycznego
Rozdział 1.1
Opisy relacji między punktami na osi liczbowej i na płaszczyźnie oraz zapis warunków w języku matematyki.
Wersja do druku / PDFw toku
Wprowadzenie
Zastosowania matematyki odnoszą się do treści pozamatematycznych. Przy formułowaniu spostrzeżeń, stwierdzeń i zależności dotyczących takich treści zazwyczaj korzysta się z języka zbliżonego do języka potocznego. Stopień precyzji takich wypowiedzi pozwala na zgrubne porozumienie, lecz dla przeprowadzenia szczegółowej analizy problemu może się on okazać niewystarczający.
Podobna potrzeba występuje także w postępowaniu „w drugą stronę”: przy przełożeniu wyniku otrzymanego środkami matematycznymi (nie muszą to być wyłącznie rachunki) na język potoczny.
Bieżący zestaw ćwiczeń zajmuje się takimi właśnie sytuacjami. Skupimy się więc na poszukiwaniu znaczeń oraz na zmianie języka, w którym są one wyrażane. Czasem zaprowadzi nas to do układów warunków, ale dzisiaj nie mamy na celu ich rozwiązywania, tylko samo formułowanie.
Zaczniemy od opisów relacji między punktami (o znanym lub nieznanym położeniu) na osi liczbowej.
Od osi liczbowej do płaszczyzny
W przypadku przedziału domkniętego nierówności ostre (<) zastąpimy nierównościami słabymi (⩽) i takie otrzymamy w wyniku.
Teraz skupimy się na związkach odległości od nieznanego punktu do znanych punktów albo miejsc geometrycznych (czyli zbiorów punktów spełniających ustalony warunek). Sformułujemy podobne pytania odnosząc je do punktów na osi liczbowej, a następnie na płaszczyźnie. Większość faktów, z których skorzystamy, jest znana z kursu algebry.
Analogiczne problemy rozpatrywane na płaszczyźnie prowadzą do podobnych analiz. Różnice będą widoczne w zastosowanych rozumowaniach. Oś liczbowa ℝ jest w naturalny sposób uporządkowana; na płaszczyźnie ℝ² nierówność między punktami nie jest określona w równie intuicyjny sposób.
Widać, że tak samo sformułowane zadanie w odmiennych dziedzinach (na prostej liczbowej i na płaszczyźnie) „rozwinęło się” do innych warunków i ma odmienne – choć zgodne z intuicją – rozwiązania.
Postać wyrażeń i właściwości zbiorów
Sformułujemy kilka dalszych pytań w języku naturalnym, dotyczących postaci wyrażeń. Celem będzie uzyskanie precyzyjnego zapisu. W dalszej kolejności możliwe jest rozwiązanie rachunkowe.
Warto pamiętać, że wstępna analiza (zwłaszcza przy znajomości konkretnych liczbowych wartości parametrów zadania) może angażować także graficzną analizę wykresów.
W kilku dalszych przykładach będzie mowa o warunkach spełnionych przez dowolną wartość, pewną nieznaną wartość albo przez parę dowolnych wartości liczbowych. Analizujemy wypowiedzi o zbiorach liczb oraz o właściwościach funkcji.
Przykłady rozwiązanych zadań
Przykład
Przykład 1.2.
Poszukiwana liczba leży w przedziale otwartym o końcach a, b. Jaka jest odległość tej liczby od środka przedziału?
Przykład
Przykład 1.3.
Znajdź na osi liczbowej wszystkie liczby, które leżą w równej odległości od wartości a = 3 i od wartości b = 5.
Przykład
Przykład 1.4.
Wyznacz położenie punktów płaszczyzny leżących w równych odległościach od dwóch ustalonych punktów A i B.
Przykład
Przykład 1.5. Nieco inne zadanie, rozwiązanie jest inne
Wyznacz punkty leżące na płaszczyźnie w połowie odległości między punktami A i B.
Przykład
Przykład 1.6.
Znajdź postać ogólną ułamka, którego licznik jest kwadratem liczby naturalnej pomniejszonym o 1, a mianownik jest kwadratem liczby o 1 większej niż ta z licznika.
Przykład
Przykład 1.7.
Znajdź wszystkie liczby, które są kwadratami sinusów krotności kąta 60°.
Przykład
Przykład 1.8.
Zbiór liczbowy S jest ograniczony z góry.
Przykład
Przykład 1.9.
Zbiór liczbowy S jest nieograniczony z góry.
Przykład
Przykład 1.10.
O zbiorach S ⊂ ℝ i T ⊂ ℝ wiadomo, że
Przykład
Przykład 1.11.
Liczba naturalna następująca bezpośrednio po liczbie k ∈ ℕ.
Przykład
Przykład 1.12.
Liczba rzeczywista następująca bezpośrednio po liczbie p ∈ ℝ.
Przykład
Przykład 1.13.
Następny wyraz ciągu opisanego wzorem ogólnym
Przykład
Przykład 1.14.
Następna wartość funkcji f(t) = √t, gdzie t ∈ [0, +∞).
Ćwiczenia
Odpowiedzi sprawdzasz od razu, a każde ćwiczenie możesz powtórzyć. Wyniki nie są nigdzie zapisywane.
Rozwiąż krok po kroku
Zadanie 1.1 a
Pewna liczba leży w przedziale domkniętym [−5/3, 1/2]. Zaproponuj jej możliwie dobre przybliżenie i oszacuj jego błąd.
Rozwiąż krok po kroku
Zadanie 1.1 b
Wyznacz zbiór złożony z liczb, których odległość na osi liczbowej od punktu 5.5 jest mniejsza niż 2.44.
Rozwiąż krok po kroku
Zadanie 1.2
(Wariant z innymi danymi) Znajdź na osi liczbowej wszystkie liczby, które leżą w tych samych odległościach od wartości a = −2 i od wartości b = 7.
Rozwiąż krok po kroku
Zadanie 1.3
(Wariant z parametrami, bez konkretnych danych liczbowych) Znajdź na osi liczbowej wszystkie liczby, które leżą na osi liczbowej w równych odległościach od dwóch ustalonych punktów a i b.
Rozwiąż krok po kroku
Zadanie 1.4
(Nieco inne zadanie, rozwiązanie jest takie samo) Znajdź liczbę na osi liczbowej leżącą w połowie odległości między danymi punktami a i b.