Analiza matematyczna

Od zapisu matematycznego do sformułowań w języku potocznym

Rozdział 1.2

Odczytywanie zapisów symbolicznych w języku naturalnym – zadania 1.5–1.11.

Wprowadzenie

Następne ćwiczenie nie wymaga rachunków. Przypomina ono raczej grę słowną „Tabu”.

Ostatnia rozważana grupa przykładów dotyczy sytuacji, w których analizowane są właściwości pewnej funkcji.

Ćwiczenia

1. Zadanie 1.5. Odczytaj poniższy zapis używając sformułowań języka naturalnego, bez korzystania z nazw zmiennych („x”, „u”, „p”, „k”, „n”) i zwrotów „należy do”, „wartość bezwzględna”, „moduł”, „minus” itp.
${x \in R : ∣ x - 3∣ > 4}$
2. Zadanie 1.6. Wyraź słowami języka naturalnego opisy poniższych zbiorów: 1. { p ∈ ℤ : ∃k ∈ ℤ : p = 3k + 1 }, 2. { 3s + 1 : s ∈ ℤ }.
${p \in Z : \exists k \in Z : p = 3 k + 1}, {3 s + 1 : s \in Z}$
3. Zadanie 1.7. Przeczytaj w języku naturalnym wyrażenie
$k = 0 \sum n (2 k + 1) .$
4. Zadanie 1.8. Przeczytaj w języku naturalnym wyrażenie
$k = 1 \sum n + 1 (2 k - 1) .$
Wskazówka: Na czym polega różnica w stosunku do poprzedniego zadania?
5. Zadanie 1.9. Zapisz przy użyciu symboliki matematycznej wyrażenie: „Suma kwadratów 100 kolejnych liczb nieparzystych, począwszy od 3”.
Wskazówka: Kolejne liczby nieparzyste są odległe od siebie o 2. Dodajemy do siebie kwadraty takich liczb. Chodzi o sumę 3² + 5² + ⋯ + n². Numerację możemy przyjąć dowolnie, byle tylko pierwsza numerowana wartość wynosiła 3², po zwiększeniu numeru o 1 wartość podnoszona do kwadratu wzrastała o 2, zaś wszystkich składników było 100. Ostatni składnik powinien więc wynosić 201².
6. Zadanie 1.10. Odczytaj w języku naturalnym następujące właściwości funkcji. Czy stwierdzenia w obu podpunktach są sobie równoważne? 1. O funkcji f wiadomo, że ∀x, y ∈ ℝ f(x) = f(y) ⟹ x = y. 2. O funkcji f wiadomo, że ∀x, y ∈ ℝ x ≠ y ⟹ f(x) ≠ f(y).
$\forall x, y \in R f (x) = f (y) ⟹ x = y; \forall x, y \in R x \neq = y ⟹ f (x) \neq = f (y) .$
Wskazówka: Oba stwierdzenia są równoważne wskutek prawa kontrapozycji: dla dowolnych zdań p, q zachodzi tożsamość (p ⟹ q) ≡ (¬q ⟹ ¬p). Zajmijmy się więc tylko jednym z nich. W tym przypadku – pierwszym.
7. Zadanie 1.11. Zapisz symbolicznie stwierdzenie: „Funkcja f jest funkcją malejącą w zbiorze ℝ”.
Wskazówka: Dla każdej pary liczb (argumentów funkcji), z których jedna jest mniejsza od drugiej, funkcja malejąca przyjmuje wartość większą przy mniejszym argumencie, a mniejszą – przy większym.

Odpowiedzi do zadań

1. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01„Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których odległość od liczby 3 jest większa niż 4”.
2. 02albo „Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących w odległości większej niż 4 od liczby 3”.
3. 03albo „Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych odległych od liczby 3 o więcej niż 4”.
4. 04albo nawet (po rozwiązaniu nierówności) „Przedział otwarty o końcach 1 i 7”.
2. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Najpierw odczytajmy te stwierdzenia dosłownie: 1. Zbiór złożony z takich liczb całkowitych (p), dla których istnieje taka liczba całkowita (k), że p = 3k + 1, 2. Zbiór liczb postaci 3s + 1, gdzie s jest dowolną liczbą całkowitą.
2. 02Tylko czy da się to powiedzieć prościej?
3. 03Nazwa p z pierwszego opisu dotyczy liczb postaci 3k + 1, przy „jakiejś” istniejącej – czyli dowolnej możliwej – całkowitej wartości k. W drugim opisie mamy wprost do czynienia z wszelkimi liczbami postaci 3s + 1; dla każdej z nich s jest pewną istniejącą konkretną liczbą całkowitą. Nazwa użyta w opisie – k czy s – nie jest nazwą konkretnej liczby, tylko oznaczeniem zmiennej, więc nie ma znaczenia.
4. 04Wynika stąd, że oba opisy dotyczą tego samego zbioru. Składa się on z wszystkich liczb o 1 większych od trzykrotności pewnej liczby całkowitej. Jest to więc zbiór liczb, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1.
5. 05Na tym można zakończyć, ale moglibyśmy z powrotem „przetłumaczyć” otrzymaną postać na zapis matematyczny. Tym razem użyjemy funkcji mod, czyli „reszta z dzielenia”: chodzi o zbiór
  ${n \in Z : mod (n, 3) = 1} .$
3. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Dosłownie „suma wartości postaci 2k + 1 od k równego 0 do k równego n”. Ale nie o to chodzi.
2. 02Rzeczywiście, zapis dotyczy sumowania. Dodawane są wartości zależne od „indeksu” (czyli rodzaju licznika): zaczynamy od wartości k = 0, zwiększamy k o 1, kończymy zaś na k = n. W każdym kroku obliczamy wartość i dodajemy ją do skumulowanego wyniku.
3. 03Jest to równoważne obliczeniu sumy 2 ⋅ 0 + 1, 2 ⋅ 1 + 1, … , 2 ⋅ n + 1, którą jednak wolelibyśmy zapisać bez wielokropka „…” sugerującego domyślność czytelnika.
4. 04Dwukrotność wartości całkowitej (2k) jest liczbą parzystą. Liczba o 1 większa od liczby parzystej jest liczbą nieparzystą. Rozpoczęcie od k = 0 powoduje, że pierwszy składnik wynosi 1, zaś zwiększanie indeksu o 1 sprawia, że składniki wzrastają o wartość 2. Składników jest zaś tyle, ile liczb całkowitych od 0 do n włącznie, czyli n + 1.
5. 05Wynika stąd, że analizowana formuła opisuje sumę n + 1 początkowych liczb naturalnych nieparzystych.
6. 06Jeśli dodatkowo zauważymy, że sumowane wartości tworzą ciąg arytmetyczny, możemy przekształcić tę sumę do postaci nie wymagającej dodawania składnik po składniku. Ciąg ma wartość początkową 1 i stały przyrost 2. Wobec tego
  $k = 0 \sum n (2 k + 1) = \frac{n + 1}{2} (1 + 2 n + 1) = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 2 )}{2} = (n + 1)^{2} .$
7. 07Suma wyrazów początkowego odcinka ciągu liczb nieparzystych równa jest kwadratowi liczby sumowanych składników.
4. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Opisz słownie obliczaną sumę. Wynik jest ten sam, co w zadaniu 1.7. Różnica polega na zmianie numeracji sumowanych elementów. Ich wartości są takie same.
5. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Na przykład:
  $k = 1 \sum 100 (2 k + 1)^{2} albo k = 0 \sum 99 (3 + 2 k)^{2} albo \dots$
6. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Odczyt dosłowny: „O funkcji f wiadomo, że dla każdej pary liczb rzeczywistych x, y z tego, że f(x) = f(y) wynika, że x = y”. Co to „naprawdę znaczy”?
2. 02Wartości x i y są w tym stwierdzeniu dowolnymi argumentami liczbowymi funkcji f. Ich nazwy nie są istotne. Chodzi o związek między faktem, że wartości funkcji są takie same, a tym, że wartości argumentów są takie same.
3. 03Funkcja f nie może przyjmować tej samej wartości w więcej niż jednym miejscu. Gdyby tak było, znalazłyby się dwa różne punkty na osi liczbowej (dobrze, nazwijmy je x i y), przy których wartości funkcji byłyby jednakowe. A analizowane stwierdzenie mówi, że tak właśnie nie jest.
4. 04Możemy więc sformułować je następująco: „Funkcja f przyjmuje każdą swoją wartość dokładnie jeden raz”. Albo „Funkcja f przyjmuje każdą wartość co najwyżej jeden raz” (ponieważ mogą być rozważane takie wartości, których funkcja w ogóle nie przyjmuje).
5. 05W rozważaniach matematycznych takie funkcje nazywamy funkcjami różnowartościowymi. Zatem możemy powiedzieć krótko: „Funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze liczb rzeczywistych”.
7. Zadanie do samodzielnego opracowania.
1. 01Rozwiązanie:
  $x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} < x_{2} ⟹ f (x_{1}) > f (x_{2}) .$