Dynamika bryły sztywnej

Wprowadzenie

Kompendium to zawiera podstawowe wiadomości z dynamiki bryły sztywnej. Kluczowe definicje oraz równania dynamiki. Materiał ten został opracowany na podstawie „Wykładów Feynmana z Fizyki” ze względu na intuicyjne podejście do zagadnienia oraz „Fizyki” autorstwa D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, który jest ceniony na kierunkach inżynierskich ze względu na precyzję wyłożenia materiału. Opracowanie zostało uzupełnione przykładowymi zadaniami o podstawowym stopniu trudności (zwykle stosowane na testach) oraz nieco bardziej złożonych, które pozwalają na przedstawienie umiejętności analizy problemu.

Bryła sztywna to układ punktów materialnych, w którym odległości między punktami pozostają stałe w czasie. Założenie to jest niezwykle korzystne z punktu widzenia złożoności problemu. Umożliwia przedstawienie problemu ruchu dużego układu za pomocą względnie prostych równań. Znaczenie tego modelu można porównać do modelu punktu materialnego dla ruchu postępowego. Oba te modele niezwykle upraszczają obliczenia i dają szansę na uzyskanie użytecznych modeli. Należy też zauważyć, że ogromna ilość realnie analizowanych przykładów bardzo dobrze spełnia te założenia. Na przykład deformacja felgi samochodowej podczas jej obracania z typowymi prędkościami jest całkowicie zaniedbywalna, podobnie jest w przypadku wirnika silnika elektrycznego i wielu innych przykładach. Tym samym założenie to ma walor nie tylko upraszczający obliczenia, ale także dobrze opisuje rzeczywistość.

Analiza ruchu bryły sztywnej wymaga wprowadzenia pojęcia momentu bezwładności, momentu siły oraz równań dynamiki dla ruchu obrotowego.

Teoria – kluczowe definicje

Wielkością, która powoduje ruch obrotowy, jest moment siły.

Moment siły i przyspieszenie kątowe

Jeżeli siła jest niezerowa, ale zostanie przyłożona centralnie do ciała ($\vec{r}=0$), to ciało nie zacznie się obracać. Może się zacząć poruszać, ale nie obracać.

Jeżeli na ciało zadziała moment siły $\vec{M}\ne 0$, to ciało to uzyska niezerowe przyspieszenie kątowe.

Wartość momentu siły wyznaczymy na podstawie wzoru:

Równanie dynamiki bryły sztywnej

Równanie dynamiki bryły sztywnej wiąże ze sobą moment siły i przyspieszenie kątowe:

Moment pędu

Istotną cechą momentu bezwładności jest to, że zależy on także od geometrii układu. Jest to silna zależność, ponieważ odpowiada za to czynnik $r^2$.

Dodatkowo warto jest uzupełnić wymienione pojęcia o moment pędu:

Tabela momentów bezwładności typowych brył

Obliczenie momentów bezwładności brył rozciągłych na podstawie równania całkowego wymaga policzenia odpowiedniej całki. Na szczęście dla większości typowych brył momenty bezwładności zostały policzone i możemy posłużyć się znanymi wynikami. Należy jednak zwracać uwagę na oś, względem której wyznaczono moment bezwładności.

Zmiana osi prowadzi zwykle do zmiany momentu bezwładności!

W poniższej tabeli zostały zebrane momenty bezwładności kilku typowych brył geometrycznych. Używając tych wzorów, trzeba zawsze zwrócić uwagę na opis osi, względem której wyznaczono moment bezwładności.

Analiza momentów bezwładności dla układów mas punktowych

W tym rozdziale przyjrzymy się stosowaniu wzoru na moment bezwładności układu mas punktowych w kilku przykładach możliwie prostych układów.

Rozważamy masy punktowe rozmieszczone na wierzchołkach figur: kwadrat, prostokąt, trójkąt równoboczny. Każda masa ma wartość $m$.

Przypadki do samodzielnego przećwiczenia

Kolejne dwa przypadki nie będziemy rozważać szczegółowo. Są one przeznaczone do samodzielnego przećwiczenia i porównania wyników.

Prostokąt – boki: $a$ i $b$.

Oś wzdłuż dłuższego boku: $I=2m{a}^2$.

Oś wzdłuż krótszego boku: $I=2m{b}^2$.

Oś prostopadła do płaszczyzny przechodząca przez przecięcie przekątnych: $I=m(a^2+b^2)$.

Oś prostopadła do płaszczyzny i przechodząca przez jeden z wierzchołków: $I=2m(a^2+b^2)$.

Trójkąt równoboczny – długość boku: $a$.

Oś wzdłuż boku: $I=\frac{3}{4}m{a}^2$.

Oś prostopadła do płaszczyzny i przechodząca przez wierzchołek: $I=2m{a}^2$.

Oś wzdłuż wysokości: odległość dwóch mas od osi: $a/2$, więc $I_{wys}=2m(a/2{)}^2=\frac{m{a}^2}{2}$.

Źródła

R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, *Wykłady Feynmana z fizyki*, Tom I—III, różne wydania.

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, *Fizyka (Fundamentals of Physics)*, polskie wydania.

Kluczowe wzory i definicje

• Moment siły

  Wielkość, która powoduje ruch obrotowy.

  $$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$$

• Przyspieszenie kątowe

  Zmiana prędkości kątowej w czasie.

  $$ϵ=\frac{d\omega }{dt}$$

• Równanie dynamiki bryły sztywnej

  Odpowiednik II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.

  $$M_{wyp}=Iϵ$$

• Moment bezwładności

  Dla układu mas punktowych oraz dla obiektów rozciągłych.

  $$I=\sum _i{m}_i{r}_i^{2}I=\int r^{2}dm$$

• Moment pędu

  $$\vec{L}=I\omega$$

• Twierdzenie Steinera

  $I_0$ – moment bezwładności względem znanej osi, $d$ – odległość między równoległymi osiami.

  $$I=I_0+m{d}^2$$

Przykłady rozwiązanych zadań

Moment bezwładności układu mas punktowych: kwadrat

Cztery małe kule, które traktujemy jak masy punktowe, umieszczono w wierzchołkach kwadratu o boku a = 2 m. Masy wynoszą odpowiednio: m₁ = 1 kg, m₂ = 2 kg, m₃ = 3 kg, m₄ = 4 kg (numeracja kolejno wzdłuż obwodu). Układ połączono nieważkimi prętami. Oblicz moment bezwładności tego układu względem: a) osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej przez jego środek geometryczny (O), b) osi pokrywającej się z bokiem łączącym masy m₁ i m₂.

1. 01Podpunkt a) Oś przez środek kwadratu. Odległość każdego wierzchołka od środka kwadratu (r) to połowa przekątnej. Przekątna d = a√2.
   $$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\mathrm{m}$$
2. 02Kwadrat odległości:
   $$r^2=(\sqrt{2}{)}^2=2{\mathrm{m}}^2$$
3. 03Korzystamy ze wzoru definicyjnego:
   $$I_O=\sum m_i{r}_i^2=(m_1+m_2+m_3+m_4)r^2$$
4. 04Podstawiamy wartości:
   $$I_O=(1+2+3+4)\mathrm{kg}\cdot 2{\mathrm{m}}^2=10\mathrm{kg}\cdot 2{\mathrm{m}}^2=20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$$
5. 05Podpunkt b) Oś wzdłuż boku m₁ – m₂. Masy m₁ i m₂ leżą na osi obrotu, więc ich odległość od osi r₁ = r₂ = 0. Masy m₃ i m₄ są oddalone od osi o długość boku kwadratu, czyli r₃ = r₄ = a = 2 m.
   $$I_{bok}=m_1(0{)}^2+m_2(0{)}^2+m_3(a{)}^2+m_4(a{)}^2$$
6. 06Po podstawieniu:
   $$I_{bok}=0+0+3\cdot (2{)}^2+4\cdot (2{)}^2=12+16=28\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$$
7. 07Zauważmy, że każdy z rozważonych przypadków daje inny wynik momentu bezwładności. Jest to bardzo ważna własność momentu bezwładności – jego wartość silnie zależy od położenia osi obrotu.

Wynik: I_O = 20\ \mathrm{kg \cdot m^2},\qquad I_{bok} = 28\ \mathrm{kg \cdot m^2}

Kula rozpędzana siłą styczną – zastosowanie równania dynamiki bryły sztywnej

Kula o masie m i promieniu R, zawieszona bez tarcia na osi przechodzącej przez jej środek. Do jej powierzchni przyłożono siłę styczną F. Znajdź przyspieszenie kątowe i jak prędkość kątowa zależy od czasu.

1. 01Równania:
   $$Iϵ=FR,I=\frac{2}{5}m{R}^2$$
2. 02Podstawiamy. Kluczową obserwacją jest fakt, że przyspieszenie kątowe jest stałe. Zatem możemy zastosować model ruchu jednostajnie przyspieszonego.
   $$ϵ=\frac{FR}{I}=\frac{FR}{\frac{2}{5}m{R}^2}=\frac{5F}{2mR}$$
3. 03Prędkość kątowa:
   $$\omega =ϵt=\frac{5F}{2mR}$$
4. 04Zatem na podstawie znalezionych wzorów możemy określić: przyspieszenie kątowe i prędkość kątową.

Wynik: \epsilon = \frac{5F}{2mR}

Walec toczący się po równi pochyłej – problem klasyczny

Walec o masie m i promieniu R toczy się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia α. Znajdź przyspieszenie walca.

1. 01Musimy uwzględnić, że walec porusza się pod wpływem siły zsuwającej, ale działa też na niego siła tarcia, która odpowiada za zwiększanie prędkości kątowej.
2. 02Istotne w tym problemie są siły: ciężar mg – siła grawitacji, składowa wzdłuż równi mg sin(α) oraz siła tarcia f, którą musimy wyznaczyć z warunku toczenia się bez poślizgu.
3. 03Równanie na siły wynikające z II zasady dynamiki:
   $$ma=mg\sin (\alpha )-f$$
4. 04Równanie dynamiki bryły sztywnej – walec się toczy:
   $$I\alpha =fR,I=\frac{1}{2}m{R}^2,a=\alpha R$$
5. 05Podstawiamy:
   $$\frac{1}{2}m{R}^2\cdot \frac{a}{R}=fR\Rightarrow f=\frac{1}{2}ma$$
6. 06Z pierwszego równania:
   $$ma=mg\sin \alpha -\frac{1}{2}ma\Rightarrow \frac{3}{2}ma=mg\sin \alpha$$
7. 07Ostatecznie:
   $$a=\frac{2}{3}g\sin \alpha$$

Wynik: a = \frac{2}{3} g \sin\alpha

Zadanie 2: dynamika układu z bloczkiem

Na jednorodny walec o masie m_walca = 2 kg i promieniu R = 0,2 m, mogący obracać się bez tarcia wokół stałej osi poziomej, nawinięto lekką linkę. Do końca linki przyczepiono ciężarek o masie m = 1 kg. Oblicz przyspieszenie opadania ciężarka a oraz naciąg linki N.

1. 01Analizujemy układ osobno dla ciężarka (ruch postępowy) i walca (ruch obrotowy). Ciężarek m: działają na niego siła ciężkości mg (dół) i naciąg linki N (góra) – równanie 1:
   $$ma=mg-N$$
2. 02Walec m_walca: moment siły od naciągu linki N, ramię R:
   $$M=N\cdot R$$
3. 03Z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego ($M=Iϵ$) oraz $I=\frac{1}{2}{m}_{walca}{R}^2$:
   $$N\cdot R=\left(\frac{1}{2}{m}_{walca}{R}^2\right)\cdot ϵ$$
4. 04Warunek braku poślizgu: ε = a/R – równanie 2:
   $$N\cdot R=\frac{1}{2}{m}_{walca}{R}^2\cdot \frac{a}{R}⟹N=\frac{1}{2}{m}_{walca}a$$
5. 05Rozwiązanie układu: podstawiamy (2) do (1):
   $$ma=mg-\frac{1}{2}{m}_{walca}a⟹a\left(m+\frac{1}{2}{m}_{walca}\right)=mg⟹a=\frac{mg}{m+\frac{1}{2}{m}_{walca}}$$
6. 06Obliczenia:
   $$a=\frac{9,81\cdot 1}{1+\frac{2}{2}}=\frac{9,81}{2}\approx 4,9\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$$
7. 07Naciąg linki:
   $$N=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4,9=4,9\mathrm{N}$$

Wynik: a \approx 4{,}9\ \mathrm{$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$^2},\qquad N = 4{,}9\ \mathrm{N}

Zadanie 3: maszyna Atwooda z uwzględnieniem masy krążka

Dwa ciężarki o masach m₁ = 4 kg i m₂ = 2 kg zawieszono na lince przewieszonej przez jednorodny krążek o masie M_krążka = 2 kg i promieniu R. Linka nie ślizga się po krążku. Oblicz przyspieszenie ciężarków.

1. 01Zakładamy, że m₁ opada. Dla m₁:
   $$m_{1}g-N_1=m_{1}a$$
2. 02Dla m₂:
   $$N_2-m_{2}g=m_{2}a$$
3. 03Krążek: $M_{wyp}=(N_1–N_2)R=Iϵ$. Ponieważ $I=\frac{1}{2}{M}_{krazka}{R}^2$ i $ϵ=a/R$:
   $$(N_1-N_2)R=\frac{1}{2}{M}_{krazka}{R}^2\frac{a}{R}⟹N_1-N_2=\frac{1}{2}{M}_{krazka}a$$
4. 04Sumujemy równania dla mas po wyznaczeniu N₁ i N₂:
   $$m_1(g-a)-m_2(g+a)=\frac{1}{2}{M}_{krazka}a$$
5. 05Porządkujemy:
   $$(m_1-m_2)g=a\left(m_1+m_2+\frac{1}{2}{M}_{krazka}\right)⟹a=g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+\frac{1}{2}{M}_{krazka}}$$
6. 06Obliczenia:
   $$a=9,81\cdot \frac{4-2}{4+2+1}=9,81\cdot \frac{2}{7}\approx 2,8\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$$

Wynik: a \approx 2{,}8\ \mathrm{$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$^2}

Zadanie 4: pręt obracający się w płaszczyźnie pionowej

Cienki, jednorodny pręt o masie m_pręta i długości L jest zamocowany na osi przechodzącej przez jego koniec (zawias). Pręt zostaje zwolniony z położenia poziomego. a) Oblicz przyspieszenie kątowe pręta w chwili startu. b) Oblicz przyspieszenie kątowe, gdy pręt tworzy kąt 60° z pionem.

1. 01a) Położenie poziome. $I=\frac{1}{3}{m}_{preta}{L}^2$ (względem końca). Moment siły ciężkości (ramię L/2): $M=m_{preta}g\frac{L}{2}$.
   $$m_{preta}g\frac{L}{2}=\left(\frac{1}{3}{m}_{preta}{L}^2\right)ϵ⟹ϵ=\frac{3g}{2L}$$
2. 02b) Kąt 60° z pionem. Ramię siły ciężkości: $r_{\perp }=\frac{L}{2}\sin (60^{\circ })$.
   $$M=m_{preta}g\frac{L}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}$$
3. 03Stąd:
   $$m_{preta}g\frac{L\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3}{m}_{preta}{L}^2ϵ⟹ϵ=\frac{3\sqrt{3}g}{4L}\approx 1,3\frac{g}{L}$$

Wynik: \epsilon = \frac{3g}{2L},\qquad \epsilon = \frac{3\sqrt{3}g}{4L} \approx 1{,}3\frac{g}{L}