Dynamika bryły sztywnej

Wprowadzenie

Kompendium to zawiera podstawowe wiadomości z dynamiki bryły sztywnej. Kluczowe definicje oraz równania dynamiki. Materiał ten został opracowany na podstawie „Wykładów Feynmana z Fizyki” ze względu na intuicyjne podejście do zagadnienia oraz „Fizyki” autorstwa D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, który jest ceniony na kierunkach inżynierskich ze względu na precyzję wyłożenia materiału. Opracowanie zostało uzupełnione przykładowymi zadaniami o podstawowym stopniu trudności (zwykle stosowane na testach) oraz nieco bardziej złożonych, które pozwalają na przedstawienie umiejętności analizy problemu.

Bryła sztywna to układ punktów materialnych, w którym odległości między punktami pozostają stałe w czasie. Założenie to jest niezwykle korzystne z punktu widzenia złożoności problemu. Umożliwia przedstawienie problemu ruchu dużego układu za pomocą względnie prostych równań. Znaczenie tego modelu można porównać do modelu punktu materialnego dla ruchu postępowego. Oba te modele niezwykle upraszczają obliczenia i dają szansę na uzyskanie użytecznych modeli. Należy też zauważyć, że ogromna ilość realnie analizowanych przykładów bardzo dobrze spełnia te założenia. Na przykład deformacja felgi samochodowej podczas jej obracania z typowymi prędkościami jest całkowicie zaniedbywalna, podobnie jest w przypadku wirnika silnika elektrycznego i wielu innych przykładach. Tym samym założenie to ma walor nie tylko upraszczający obliczenia, ale także dobrze opisuje rzeczywistość.

Analiza ruchu bryły sztywnej wymaga wprowadzenia pojęcia momentu bezwładności, momentu siły oraz równań dynamiki dla ruchu obrotowego.

Teoria – kluczowe definicje

Wielkością, która powoduje ruch obrotowy, jest moment siły.

M = r \times F

Moment siły i przyspieszenie kątowe

Jeżeli siła jest niezerowa, ale zostanie przyłożona centralnie do ciała ( $r = 0$ ), to ciało nie zacznie się obracać. Może się zacząć poruszać, ale nie obracać.

Jeżeli na ciało zadziała moment siły $M \neq = 0$ , to ciało to uzyska niezerowe przyspieszenie kątowe.

Wartość momentu siły wyznaczymy na podstawie wzoru:

M = F \cdot r \cdot sin (θ)

Równanie dynamiki bryły sztywnej

Równanie dynamiki bryły sztywnej wiąże ze sobą moment siły i przyspieszenie kątowe:

M_{w y p} = I ϵ

Moment pędu

Istotną cechą momentu bezwładności jest to, że zależy on także od geometrii układu. Jest to silna zależność, ponieważ odpowiada za to czynnik $r^{2}$ .

Dodatkowo warto jest uzupełnić wymienione pojęcia o moment pędu:

L = I ω

Tabela momentów bezwładności typowych brył

Obliczenie momentów bezwładności brył rozciągłych na podstawie równania całkowego wymaga policzenia odpowiedniej całki. Na szczęście dla większości typowych brył momenty bezwładności zostały policzone i możemy posłużyć się znanymi wynikami. Należy jednak zwracać uwagę na oś, względem której wyznaczono moment bezwładności.

Zmiana osi prowadzi zwykle do zmiany momentu bezwładności!

W poniższej tabeli zostały zebrane momenty bezwładności kilku typowych brył geometrycznych. Używając tych wzorów, trzeba zawsze zwrócić uwagę na opis osi, względem której wyznaczono moment bezwładności.

Bryła	Moment bezwładności
Pręt (oś przez środek, prostopadła do pręta)	$I = \frac{1}{12} m L^{2}$
Kula (oś przez środek)	$I = \frac{2}{5} m R^{2}$
Walec (pełny, oś symetrii)	$I = \frac{1}{2} m R^{2}$
Cylinder (pusty, cienkościenny, oś symetrii)	$I = m R^{2}$
Stożek (oś symetrii)	$I = \frac{3}{10} m R^{2}$

Momenty bezwładności typowych brył

Tabela momentów bezwładności typowych brył wraz z ilustracjami zaznaczonych osi obrotu oraz legendą osi. — Momenty bezwładności typowych brył – ilustracje zaznaczonych osi (materiał źródłowy).

Analiza momentów bezwładności dla układów mas punktowych

W tym rozdziale przyjrzymy się stosowaniu wzoru na moment bezwładności układu mas punktowych w kilku przykładach możliwie prostych układów.

Rozważamy masy punktowe rozmieszczone na wierzchołkach figur: kwadrat, prostokąt, trójkąt równoboczny. Każda masa ma wartość $m$ .

Przypadki do samodzielnego przećwiczenia

Kolejne dwa przypadki nie będziemy rozważać szczegółowo. Są one przeznaczone do samodzielnego przećwiczenia i porównania wyników.

Prostokąt – boki: $a$ i $b$ .

Oś wzdłuż dłuższego boku: $I = 2 m a^{2}$ .

Oś wzdłuż krótszego boku: $I = 2 m b^{2}$ .

Oś prostopadła do płaszczyzny przechodząca przez przecięcie przekątnych: $I = m (a^{2} + b^{2})$ .

Oś prostopadła do płaszczyzny i przechodząca przez jeden z wierzchołków: $I = 2 m (a^{2} + b^{2})$ .

Trójkąt równoboczny – długość boku: $a$ .

Oś wzdłuż boku: $I = \frac{3}{4} m a^{2}$ .

Oś prostopadła do płaszczyzny i przechodząca przez wierzchołek: $I = 2 m a^{2}$ .

Oś wzdłuż wysokości: odległość dwóch mas od osi: $a /2$ , więc $I_{w y s} = 2 m (a /2)^{2} = \frac{m a ^{2}}{2}$ .

Źródła

R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, *Wykłady Feynmana z fizyki*, Tom I—III, różne wydania.

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, *Fizyka (Fundamentals of Physics)*, polskie wydania.

Kluczowe wzory i definicje

Moment siły

Wielkość, która powoduje ruch obrotowy.

M = r \times F

Przyspieszenie kątowe

Zmiana prędkości kątowej w czasie.

ϵ = \frac{d ω}{d t}

Równanie dynamiki bryły sztywnej

Odpowiednik II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.

M_{w y p} = I ϵ

Moment bezwładności

Dla układu mas punktowych oraz dla obiektów rozciągłych.

I = i \sum m_{i} r_{i}^{2} I = \int r^{2} d m

Moment pędu

L = I ω

Twierdzenie Steinera

$I_{0}$ – moment bezwładności względem znanej osi, $d$ – odległość między równoległymi osiami.

I = I_{0} + m d^{2}

Przykłady rozwiązanych zadań

Przykład

Moment bezwładności układu mas punktowych: kwadrat

Cztery małe kule, które traktujemy jak masy punktowe, umieszczono w wierzchołkach kwadratu o boku a = 2 m. Masy wynoszą odpowiednio: m₁ = 1 kg, m₂ = 2 kg, m₃ = 3 kg, m₄ = 4 kg (numeracja kolejno wzdłuż obwodu). Układ połączono nieważkimi prętami. Oblicz moment bezwładności tego układu względem: a) osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej przez jego środek geometryczny (O), b) osi pokrywającej się z bokiem łączącym masy m₁ i m₂.

Kwadrat o boku a z masami punktowymi m₁, m₂, m₃, m₄ w wierzchołkach, zaznaczonymi przekątnymi i środkiem O. — Rysunek 1. Układ mas punktowych w wierzchołkach kwadratu.

Przykład

Kula rozpędzana siłą styczną – zastosowanie równania dynamiki bryły sztywnej

Kula o masie m i promieniu R, zawieszona bez tarcia na osi przechodzącej przez jej środek. Do jej powierzchni przyłożono siłę styczną F. Znajdź przyspieszenie kątowe i jak prędkość kątowa zależy od czasu.

Kula z zaznaczoną siłą styczną F przyłożoną do jej powierzchni. — Kula, siła styczna $F$ .

Przykład

Walec toczący się po równi pochyłej – problem klasyczny

Walec o masie m i promieniu R toczy się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia α. Znajdź przyspieszenie walca.

Walec na równi pochyłej z zaznaczoną siłą ciężkości mg i jej składową mg sin α. — Równia pochyła, kąt $α$ .

Przykład

Zadanie 2: dynamika układu z bloczkiem

Na jednorodny walec o masie m_walca = 2 kg i promieniu R = 0,2 m, mogący obracać się bez tarcia wokół stałej osi poziomej, nawinięto lekką linkę. Do końca linki przyczepiono ciężarek o masie m = 1 kg. Oblicz przyspieszenie opadania ciężarka a oraz naciąg linki N.

Walec zamocowany na osi poziomej z nawiniętą linką, ciężarek m, naciąg N, ciężar mg i przyspieszenie a. — Rysunek 2. Walec z nawiniętą linką i ciężarkiem.

Przykład

Zadanie 3: maszyna Atwooda z uwzględnieniem masy krążka

Dwa ciężarki o masach m₁ = 4 kg i m₂ = 2 kg zawieszono na lince przewieszonej przez jednorodny krążek o masie M_krążka = 2 kg i promieniu R. Linka nie ślizga się po krążku. Oblicz przyspieszenie ciężarków.

Maszyna Atwooda: krążek o masie M i promieniu R, ciężarki m₁ i m₂, naciągi N₁ i N₂. — Rysunek 3. Maszyna Atwooda z masywnym bloczkiem.

Przykład

Zadanie 4: pręt obracający się w płaszczyźnie pionowej

Cienki, jednorodny pręt o masie m_pręta i długości L jest zamocowany na osi przechodzącej przez jego koniec (zawias). Pręt zostaje zwolniony z położenia poziomego. a) Oblicz przyspieszenie kątowe pręta w chwili startu. b) Oblicz przyspieszenie kątowe, gdy pręt tworzy kąt 60° z pionem.

Pręt zamocowany w punkcie O, zwolniony z położenia poziomego, kąt 60°, środek masy CM i siła ciężkości mg. — Rysunek 4. Pręt obracający się wokół osi.

Ćwiczenia

Wkrótce

Ćwiczenia do tego tematu pojawią się razem z właściwą treścią.