Fizyka

Kinematyka: ruch jednostajnie przyspieszony, spadek swobodny i rzut ukośny

Trzy wzory, które załatwiają większość zadań z ruchu prostoliniowego, plus spadek swobodny i rzut ukośny.

Ruch jednostajny

Prędkość się nie zmienia, przyspieszenie jest zerowe. Położenie rośnie liniowo z czasem.

v (t) = const, x (t) = x_{0} + v t, a = 0

Ruch jednostajnie przyspieszony – wielka trójka

Przyspieszenie jest stałe. Trzy wzory poniżej wystarczają do niemal każdego zadania: pierwszy dla prędkości, drugi dla drogi, trzeci gdy nie znamy czasu.

v (t) = v_{0} + a t

x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0})

Spadek swobodny

To ruch jednostajnie przyspieszony z a = g. Masa ciała nie ma znaczenia – wszystko spada tak samo (pomijając opór powietrza).

Przyjmujemy g ≈ 9,81 $\frac{m}{s ^{2}}$ (w zadaniach szacunkowych często 10 $\frac{m}{s ^{2}}$ ).

y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2}

t = \frac{2 h}{g}, v = 2 g h

Rzut ukośny

Rozkładamy ruch na dwa niezależne: poziomy jednostajny (aₓ = 0) i pionowy jednostajnie zmienny (a_y = −g).

Prędkość początkową dzielimy na składowe, a dalej korzystamy z gotowych wzorów na czas lotu, zasięg i wysokość maksymalną.

v_{0 x} = v_{0} cos α, v_{0 y} = v_{0} sin α

t_{lot} = \frac{2 v _{0} sin α}{g}

R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}, H_{m a x} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g}

Kluczowe wzory i definicje

Wzór bezczasowy
Używaj go, gdy w zadaniu nie występuje czas – łączy prędkości z drogą.
$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0})$
Czas spadku z wysokości h
Nie zależy od masy ciała.
$t = 2 h / g$
Prędkość uderzenia w spadku swobodnym
$v = 2 g h$
Zasięg rzutu ukośnego
Maksymalny dla α = 45°, bo wtedy sin 2α = 1.
$R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}$
Wysokość maksymalna
$H_{m a x} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g}$

Przykłady rozwiązanych zadań

Przykład 1 – hamowanie

Kierowca jadący z prędkością 108 $\frac{km}{h}$ hamuje i zatrzymuje się na drodze 90 m. Oblicz opóźnienie.

01Zamiana jednostek: 108 $\frac{km}{h}$ = 30 $\frac{m}{s}$ , prędkość końcowa jest zerowa.
$v_{0} = 30 \frac{m}{s}, v_{k} = 0$
02Nie znamy czasu, więc korzystamy ze wzoru bezczasowego.
$0 = 3 0^{2} + 2 a \cdot 90$
03Wyliczamy przyspieszenie (znak minus oznacza opóźnienie).
$a = - \frac{900}{180} = - 5 \frac{m}{s ^{2}}$

Wynik: a = −5 $\frac{m}{s ^{2}}$

Przykład 2 – przyspieszający samochód

Samochód rusza z miejsca z przyspieszeniem a = 2 $\frac{m}{s ^{2}}$ . Oblicz prędkość po t = 5 s oraz przebytą drogę.

01Prędkość z pierwszego wzoru wielkiej trójki.
$v = 0 + 2 \cdot 5 = 10 \frac{m}{s}$
02Droga z drugiego wzoru, przy v₀ = 0.
$s = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^{2} = 25 m$

Wynik: v = 10 $\frac{m}{s}$ , s = 25 m

Przykład 3 – rzut w dół

Kamień rzucono pionowo w dół z mostu o wysokości h = 45 m z prędkością v₀ = 10 $\frac{m}{s}$ . Oblicz prędkość końcową (g ≈ 10 $\frac{m}{s ^{2}}$ ).

01Ruch jednostajnie przyspieszony w dół – znów wzór bezczasowy.
$v_{k}^{2} = v_{0}^{2} + 2 g h$
02Podstawiamy dane.
$v_{k}^{2} = 1 0^{2} + 2 \cdot 10 \cdot 45 = 1000$
03Pierwiastkujemy.
$v_{k} = 1000 \approx 31, 6 \frac{m}{s}$

Wynik: v_k ≈ 31,6 $\frac{m}{s}$

Przykład 4 – rzut ukośny

Piłkę kopnięto z prędkością v₀ = 20 $\frac{m}{s}$ pod kątem α = 30°. Oblicz zasięg, czas lotu i wysokość maksymalną.

01Składowe prędkości początkowej.
$v_{0 x} = 20 cos 3 0^{\circ} \approx 17, 3 \frac{m}{s}, v_{0 y} = 20 sin 3 0^{\circ} = 10 \frac{m}{s}$
02Czas lotu.
$t_{lot} = \frac{2 \cdot 10}{9 , 81} \approx 2, 04 s$
03Zasięg.
$R = \frac{2 0 ^{2} sin 6 0 ^{\circ}}{9 , 81} \approx 35, 3 m$
04Wysokość maksymalna.
$H_{m a x} = \frac{1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 , 81} \approx 5, 10 m$

Wynik: t ≈ 2,04 s, R ≈ 35,3 m, H_max ≈ 5,10 m

Zadania do samodzielnego rozwiązania (z odpowiedziami)

1. Punkt porusza się z v₀ = 3 $\frac{m}{s}$ i a = 1 $\frac{m}{s ^{2}}$ . Oblicz prędkość po t = 7 s.
$v = v_{0} + a t$
v = …………… $\frac{m}{s}$
2. Dla v₀ = 5 $\frac{m}{s}$ , a = 0,5 $\frac{m}{s ^{2}}$ i t = 8 s oblicz przebytą drogę.
$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$
s = …………… m
3. Ciało spada swobodnie z wysokości h = 10 m. Oblicz czas spadku.
$t = 2 h / g$
t = …………… s
4. Rzut ukośny: v₀ = 15 $\frac{m}{s}$ , α = 45°. Oblicz zasięg.
$R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}$
R = …………… m
5. Rzut ukośny jak wyżej (v₀ = 15 $\frac{m}{s}$ , α = 45°). Oblicz czas lotu.
$t = \frac{2 v _{0} sin α}{g}$
t = …………… s
6. Z jaką prędkością należy rzucić ciało pod kątem α = 60°, aby osiągnąć R = 30 m?
$v_{0} = \frac{R g}{sin 2 α}$
v₀ = …………… $\frac{m}{s}$
7. Jaki kąt α maksymalizuje zasięg przy danej prędkości początkowej v₀?
α = …………… °
8. Z wysokości 5 m ciało rzucono poziomo z v₀ = 6 $\frac{m}{s}$ . Oblicz czas lotu.
$t = 2 h / g$
t = …………… s
9. W zadaniu 8 oblicz zasięg poziomy.
$R = v_{0} t$
R = …………… m
10. Oblicz prędkość po 4 s dla v₀ = 2 $\frac{m}{s}$ i a = 3 $\frac{m}{s ^{2}}$ .
$v = v_{0} + a t$
v = …………… $\frac{m}{s}$

Zadania trudniejsze (do samodzielnego opracowania)

11. Dana odległość celu R = 40 m. Wyznacz prędkość początkową v₀ dla rzutu ukośnego wykonywanego pod kątem α = 35°.
Wskazówka: Skorzystaj z zależności R = (v₀²/g) · sin(2α).
12. Dane: czas lotu T = 2,5 s i wysokość maksymalna H = 6 m. Wyznacz v₀ oraz kąt α.
Wskazówka: Skorzystaj z dwóch zależności: T = 2·v₀·sin(α)/g oraz H = v₀²·sin²(α)/(2g).
13. Rzut z krawędzi: z wysokości h = 10 m pod kątem α i z prędkością v₀. Wyznacz α tak, aby trafić w punkt oddalony o R = 25 m, leżący niżej o h.
Wskazówka: Rozwiąż układ: x(t) = v₀·cos(α)·t = R oraz y(t) = h + v₀·sin(α)·t − (1/2)·g·t² = 0.

Odpowiedzi do zadań

1. 10 $\frac{m}{s}$ — v = 3 + 1 · 7 = 10 $\frac{m}{s}$ .
2. 52 m — s = 5 · 8 + 0,5 · 0,5 · 64 = 40 + 16 = 52 m.
3. 1,43 s — t = √(20/9,81) ≈ 1,43 s.
4. 22,9 m — R = 225 · sin 90° / 9,81 ≈ 22,9 m.
5. 2,16 s — t = 2 · 15 · sin 45° / 9,81 ≈ 2,16 s.
6. 19,9 $\frac{m}{s}$ — v₀ = √(30 · 9,81 / sin 120°) ≈ 19,9 $\frac{m}{s}$ .
7. 45 ° — Zasięg jest największy, gdy sin 2α = 1, czyli dla α = 45°.
8. 1,01 s — t = √(2 · 5 / 9,81) ≈ 1,01 s.
9. 6,1 m — R = 6 · 1,01 ≈ 6,1 m.
10. 14 $\frac{m}{s}$ — v = 2 + 3 · 4 = 14 $\frac{m}{s}$ .
11. Materiał źródłowy nie podaje wyniku – dokończ obliczenia samodzielnie.
1. 01Zapisz wzór na zasięg rzutu ukośnego.
  $R = \frac{v _{0}^{2}}{g} sin 2 α$
2. 02Przekształć go względem v₀.
  $v_{0} = \frac{R g}{sin 2 α}$
3. 03Podstaw R = 40 m, α = 35°, g = 9,81 $\frac{m}{s ^{2}}$ i policz sin 70°.
12. Materiał źródłowy nie podaje wyniku – dokończ obliczenia samodzielnie.
1. 01Z pierwszego równania wyznacz iloczyn v₀·sin α.
  $v_{0} sin α = \frac{g T}{2}$
2. 02Wstaw go do wzoru na wysokość maksymalną.
  $H = \frac{( v _{0} sin α ) ^{2}}{2 g}$
3. 03Sprawdź zgodność danych, a następnie wyznacz α i v₀ z układu równań.
13. Materiał źródłowy nie podaje wyniku – dokończ obliczenia samodzielnie.
1. 01Z równania poziomego wyznacz czas lotu.
  $t = \frac{R}{v _{0} cos α}$
2. 02Podstaw t do równania pionowego.
  $h + v_{0} sin α t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0$
3. 03Otrzymasz równanie z jedną niewiadomą α – rozwiąż je dla danych h = 10 m i R = 25 m.